Znalezienie ceny czynnika ekonomicznego dla idealnej funkcji produkcji uzupełnienia

Q. Zastanów się nad ekonomią wytwarzania pojedynczego dobra za pomocą funkcji produkcji gdzie Y jest wyjściem produktu końcowego. K i L to odpowiednio zużycie kapitału i pracy. Załóżmy, że gospodarka jest wyposażony w 100 jednostek kapitału oraz podaży pracy jest L _s jest podana przez funkcję

$$Y = min [K, L]$$

L _s = 50 w

gdzie w to stawka płacy. Zakładając, że wszystkie rynki są konkurencyjne, znajdź równowagę płac i stawki czynszu.

Właściwie mam wątpliwości, czy gospodarka wykorzysta swoje pełne wyposażenie kapitałowe. Również w jaki sposób będziemy obliczać krańcowy produkt pracy i kapitału w celu znalezienia stawki płacy i stawki czynszu. Myślę, że jeśli używamy izokwant i izokoszta linii, a następnie optymalne rozwiązanie powinno pochodzić gdzie . Ale myślę, że coś mi brakuje, proszę o pomoc.

$$K = L = Y$$

Planista próbuje zmaksymalizować:

$$\Pi = Y - r\cdot K - w\cdot L= min [K, L] - r\cdot K - w\cdot L$$

W doskonałej konkurencji czynniki otrzymują swój produkt krańcowy jako cenę. Jeżeli to . Oznacza to, że krańcowy produkt kapitału (MPK) wynosi zero, a zatem cena kapitału ( ) powinna wynosić zero. W tym regionie krańcowy produkt pracy (MPL) wynosi 1, a więc istnieje tylko jedno wynagrodzenie, które reprezentuje równowagę konkurencyjną, .$0<w <2$$0 < L_s < 100$$r$$w*=1 \rightarrow L^* = 50, Y^* = 50, r^* = 0$

Co z ? W tym regionie MPL wynosi 0, więc nie może to być konkurencyjna równowaga, ponieważ .$w\geq 2$$2< w \neq MPL$

Uzupełniając odpowiedź @ BKay, rozważmy rynek pracy, który z założenia jest doskonale konkurencyjny. Płaca równowagowa dostosowuje się tak, aby podaż pracy i popyt na pracę były równe, a my mamy

$$L^s = L^d \implies 50w^* = L^d \implies w^* = L^d/50$$

Teraz pytanie brzmi: ile będzie popytu na pracę? Biorąc pod uwagę specyfikację funkcji produkcyjnej oraz fakt, że , i zakładając, że albo zastosujemy wszystkie albo w ogóle ich nie widzimy, widzimy, że popyt na pracę nie może przekroczyć wartości , ponieważ jeśli tak, powiedzmy , wtedy mielibyśmy i powiedzieliby, że praca nie będzie w ogóle wykorzystywana w produkcji, więc nonsensowne jest „żądanie”. Dochodzimy zatem do wniosku, że maksymalna obserwowana płaca wynosi . Dla przedziału płac podaż pracy będzie zawsze mniejsza niż$K =100$$K$$100$$101$$Y = \min \{K,L\}=K$$\max w = 2$$(0,2]$$100$, a więc również popyt na pracę i zatrudniona praca, a produkcja będzie prowadzona przy użyciu tylko siły roboczej, bez kapitału, a reszta to @ BKay.

Zauważ, że można to uznać za nieoptymalne, ponieważ jeśli zatrudnilibyśmy cały kapitał, a nie robociznę, mielibyśmy produkcję równą , a teraz mamy produkcję tylko . Nawet jeśli założymy, że praca nie powoduje nieczystości, lepsza wydajność byłaby lepsza, ponieważ rozszerza granice zestawu zużycia. Tak więc rozwiązanie centralnego planowania byłoby inne niż wynik rynkowy.$100$$50$

Czy podmiot taki jak rząd może wykorzystać podatki i dotacje do zwiększenia produkcji? Innymi słowy załóżmy, że model jest

$$\max _{K,L^d}\pi = min [K, L^d] - r\cdot K - w\cdot L^d + s\cdot K$$

$$L^s = 50\cdot (1-\tau)w$$

$$L^s = L^d =L^*$$

oraz zrównoważony budżet dla rządu

$$sK = \tau wL^*$$

Czy uzyskalibyśmy coś innego?