Jak czerpać elastyczność substytucji?

14

Dla dwóch towarów i elastyczność zamiany jest zdefiniowana jako $x$ $y$

σ \equiv \frac{re \log (\frac{y}{x})}{re \log (\frac{U_{x}}{U_{y}})} = \frac{\frac{re (\frac{y}{x})}{\frac{y}{x}}}{\frac{re (\frac{U_{x}}{U_{y}})}{\frac{U_{x}}{U_{y}}}}

$\sigma \equiv \frac{d\log\left(\frac{y}{x}\right)}{ d\log\left(\frac{U_x}{U_y}\right) }= \frac{\frac{d\left(\frac{y}{x}\right)}{\frac{y}{x}}}{ \frac{d\left(\frac{U_x}{U_y}\right)}{\frac{U_x}{U_y}}}$

Mylą mnie dwie rzeczy:

Dlaczego po prostu piszemy ? Czym się wyróżniamy? $d\log\left(\frac{y}{x}\right)$
Jak tego użyć, aby pokazać powyższą relację?

Czy ktoś może wyjaśnić?

elasticity Stan Shunpike
źródło

Odpowiedzi:

20

Jak uzyskać elastyczność substytucji

Pierwszym krokiem jest przywołanie definicji różnicy. Jeśli masz funkcję , powiedzmy , to: $f: \Bbb R^n \to \Bbb R$ $f(x_1,\cdots,x_n)$

re fa = \frac{\partial fa}{\partial x_{1}} re x_{1} + \dots + \frac{\partial fa}{\partial x_{n}} re x_{n} .

${\rm d}f = \frac{\partial f}{\partial x_1}{\rm d}x_1 + \cdots + \frac{\partial f}{\partial x_n}\,{\rm d}x_n.$

Na przykład

re \log v = \frac{1}{v} re v

$d\log v = \frac{1}{v}dv$

Załóżmy teraz, że , to mamy $v = \tfrac{y}{x}$

re \log (y / x) = \frac{re (y / x)}{(y / x)}

$d\log(y/x)=\frac{d(y/x)}{(y/x)}$

i dla $v = \tfrac{U_x}{U_y}$

re \log (U_{x} / U_{y}) = \frac{re (U_{x} / U_{y})}{(U_{x} / U_{y})}

$d\log(U_x/U_y)=\frac{d(U_x/U_y)}{(U_x/U_y)}$

Innymi słowy, jeśli zredukujesz problem do (1) zrozumienia definicji różniczki i (2) zastosujesz prostą zmianę zmiennej , problem stanie się bardzo prosty.

Wtedy dostaniesz

σ \equiv \frac{re \log (\frac{y}{x})}{re \log (\frac{U_{x}}{U_{y}})} = \frac{\frac{re (y / x)}{(y / x)}}{\frac{re (U_{x} / U_{y})}{(U_{x} / U_{y})}}

$\sigma \equiv \frac{d\log\left(\frac{y}{x}\right)}{ d\log\left(\frac{U_x}{U_y}\right) }= \frac{ \frac{d(y/x)}{(y/x)} }{ \frac{d(U_x/U_y)}{(U_x/U_y)} }$

NA BOK:

Uwaga: ważne jest, aby uznać, że jest znaczącym pojęciem. Po prostu zastosuj regułę ilorazu i znajdź $d(y/x)$

re (y / x) = \frac{x re y - y re x}{x^{2)}}

$d(y/x)= \frac{xdy-ydx}{x^2}$

Ma to sens, ponieważ

re \log (y / x) = re \log (y) - re \log (x) = \frac{re y}{y} - \frac{re x}{x}

$d\log(y/x) = d\log(y) - d\log(x) = \frac{dy}{y}-\frac{dx}{x}$

A jeśli wyliczysz

re \log (y / x) = \frac{re (y / x)}{(y / x)} = \frac{\frac{x re y - y re x}{x^{2)}}}{y / x} = \frac{x re y - y re x}{x y} = \frac{re y}{y} - \frac{re x}{x}

$d\log(y/x)=\frac{d(y/x)}{(y/x)}=\frac{ \frac{xdy-ydx}{x^2}}{y/x} = \frac{xdy-ydx}{xy} = \frac{dy}{y}-\frac{dx}{x}$

Ta sama logika dotyczy . $d(U_x/U_y)$

Zatem cała jest dobrze zdefiniowana w tym sensie, że używamy narzędzi do rachunku różniczkowego poprawnie / legalnie. $\sigma$

Czym jest elastyczność substytucji?

Elastyczność jest o ile% jedna rzecz się zmienia w stosunku do% zmiany w innej. Dlatego w tym przypadku jest to zmiana procentowa dwóch towarów w stosunku do pojedynczej zmiany procentowej dla tych dwóch towarów. $MRS$

Stan Shunpike
źródło