Ścisłe relacje preferencji i reprezentacje użyteczności

Załóżmy, że mam racjonalną relację preferencji $ succsim $ na niektórych ustawieniach konsumpcji $ X $.

Załóżmy również, że istnieje funkcja użyteczności $ u: X matematyka {R} $ reprezentująca $ succsim $.

Definicja: Funkcja $ u: X o Mathbb {R} $ jest funkcją użyteczności reprezentującą relację preferencji $ succsim $ if, dla wszystkich $ x, y w X $, $$ x succsim yff u ( x) geq u (y) $$

Czy jest możliwe, aby udowodnić, że $ x ma yff u (x) & gt; u (y) $ bez warunku ciągłości na $ succsim $?

Moja intuicja mówi „nie”, ale mam trudności ze znalezieniem odpowiedniego przykładu. Każda pomoc jest doceniana.

Tak to jest:
Jeśli kierunek $$ x succ y Rightarrow x nie precsim y Rightarrow u (x) & gt; u (y). $$ Tylko jeśli kierunek:
Dla wszystkich $ x, y w X $, $$ x succsim yff u (x) geq u (y) $$ sugeruje $$ x y yff u (x) = u (y). $$ Również $$ u (x) & gt; u (y) Rightarrow u (x) geq u (y) Rightarrow x succsim y, $$ $$ u (x) & gt; u (y) Rightarrow u (x) nie = u (y) Rightarrow x nie y. $$ i $$ x succsim y mbox {AND} x nie y y Strzał w prawo x sukces. $$