Dowód, że każdy obwód z diodami ma dokładnie jedno rozwiązanie

Rozważmy obwód elektroniczny składający się z elementów liniowych oraz szeregu idealnych diod. Przez "idealnego" to znaczy mogą one być dociskane do przodu (to znaczy , a i D ≥ 0 ) lub w tył obciążonego (tzn V D ≤ 0 i I D = 0 ).$v_D=0$$i_D\geq 0$$v_D\leq 0$$i_D=0$

Układy te mogą być obliczane przez dowolnie deklarowania Każda dioda albo odchylone do przodu lub do tyłu, dociskane i ustawienie dla każdego wybiegające spolaryzowana dioda i I D = 0 dla każdej diody odwrotnej odchylany. Po obliczeniu wynikowego obwodu liniowego musimy sprawdzić, czy na każdej diodzie z tendencją do przodu i D ≥ 0 i przy każdej diodzie z tendencją do kierunku wstecznego v D ≤ 0 jest spełnione. Jeśli tak, to nasze rozwiązanie. Jeśli nie, musimy wypróbować inny zestaw opcji dla diod. Tak więc, w przypadku diod N , możemy obliczyć obwód, obliczając najwyżej 2 $v_D=0$$i_D=0$$i_D\geq 0$$v_D\leq 0$$N$$2^N$ obwody liniowe (zwykle znacznie mniej).

Dlaczego to działa? Innymi słowy, dlaczego zawsze istnieje jeden wybór, który prowadzi do prawidłowego rozwiązania i (co ciekawsze) dlaczego nigdy nie ma dwóch wyborów, które prowadzą do prawidłowych rozwiązań?

Powinno być możliwe udowodnienie, że na tym samym poziomie rygoru, z jakim np. Twierdzenie Thevenina jest udowodnione w podręcznikach.

Link do dowodu w literaturze byłby również akceptowalną odpowiedzią.

Zakładam, że jest to wymyślony problem polegający na tym, że istnieje obwód ze znanymi pasywnymi i niektórymi podanymi I i V oraz punktami zaznaczonymi dla diod o nieznanym kierunku. Moja odpowiedź brzmi:

Mam nadzieję, że twórcy problemów ograniczyli się do przypadków, w których ich założenia prowadzą do wniosków.

Mogłoby to być teoretycznie nierozwiązywalne, gdyby dioda była obca; rozważ uziemienie obu stron diody. Mogą istnieć nietrywialne przypadki wykorzystujące wirtualne podstawy lub inne równe napięcia, które mogą być trudne do wykrycia.

Z pewnością mogłyby istnieć prawidłowe obwody, które różnią się jedynie kierunkiem diody dla dowolnej wartości „prawidłowego obwodu”, który obejmuje diody. Zastanów się nad modelowaniem przełączników przy użyciu idealnych reguł diodowych. Jak zdecydować, czy przełącznik ma być włączony, czy wyłączony? Mam nadzieję, że podane prądy i napięcia dają wystarczającą ilość wskazówek. I mam nadzieję, że nie dali ci sprzecznych wskazówek.

To przesuwa pytanie do „Jak rozpoznać, czy instancja ma wystarczającą ilość informacji, aby być unikalna?” Pamiętam, że odpowiedź brzmiała tak, jakbyś potrzebował jednej niezależnej odpowiedzi dla każdej niezależnej nieznanej osoby, ale jestem pewien, że nie mogłem tego udowodnić ani wymyślić ogólnego testu na niezależność jednego z nich.

Dla idealnych diod może istnieć wiele rozwiązań.

Trywialny kontrprzykład: weź dowolny obwód zawierający idealne diody, które rozwiązałeś. Teraz zamień jedną z idealnych diod na parę diod połączonych równolegle lub, jeśli jest skierowana w przeciwną stronę, parę szeregową, zachowując orientację w obu przypadkach. Jak rozwiązać problem rozdziału prądu lub napięcia między nimi? Nie możesz, idealny model diodowy prowadzi do wypukłego kadłuba równie ważnych rozwiązań.

Nie mam ścisłego dowodu, ale ogólną ideą jest to, że dopóki elementy obwodu mają krzywe VI, które są funkcjami jednowartościowymi (obejmuje to zarówno diody, jak i elementy liniowe), może istnieć tylko jedno rozwiązanie obwód ogólnie.

Myślę, że jest dość prosty:

idealną diodę z tendencją do przodu można traktować jako zwarcie, a idealną diodę z odchyleniem do przodu jako obwody otwarte. Tak więc w każdym przypadku otrzymujesz obwody zawierające tylko elementy liniowe (ponieważ wszystkie diody albo decydują się na otwarcie obwodów lub zwarcia), a te obwody liniowe mają dokładnie jedno rozwiązanie.

Z Wikipedii wpisuje wiersze

Jest tylko jedno unikalne rozwiązanie ze względu na charakter problemu. Najlepiej ilustruje to graficznie, w postaci linii obciążenia. Dioda ma równanie, które opisuje związek między prądem przez nią (oś y), a napięciem na niej (oś x). Tutaj oś x to napięcie na diodzie.

Zobacz, co dzieje się z prądem na rezystorze, gdy zmienia się napięcie na diodzie. Jeśli napięcie na diodzie będzie wynosić Vdd, wówczas nie będzie spadku napięcia na rezystorze, ponieważ napięcie na rezystorze i diodzie musi sumować się do Vdd), a zatem na rezystorze wystąpiłby zerowy prąd (prawo Ohma). Podobnie, gdyby nastąpił zerowy spadek napięcia na diodzie, na rezystorze byłby Vdd, a prąd przez rezystor byłby Vdd / R.

Teraz wiemy, że są to sytuacje nierealne, ponieważ prąd w diodzie i oporniku musi być równy. Biorąc pod uwagę równanie dla rezystora (liniowe) i równanie dla diody (nieliniowe, ale monotoniczne narastanie), możemy zobaczyć na wykresie, że może się to zdarzyć tylko w jednym unikalnym punkcie, na przecięciu dwóch krzywych.

Zatem jednoczesne rozwiązanie trzech równań (rezystor, dioda i fakt, że oba prądy muszą być równe) dają jedno unikalne rozwiązanie.

Ta metoda będzie działać dla wszystkich elementów obwodu.

Jest trochę inaczej w przypadku diod prądu wstecznego, ponieważ prąd rezystora idzie w drugą stronę i do wykresu należy dodać kwadrant.

„Dowód” tego działałby tylko w przypadku niektórych obwodów. Jeśli masz jakieś wzmocnienie, a jedynymi elementami nieliniowymi są same diody, możesz mieć wiele możliwych stanów. Na przykład (może nie być najprostszym możliwym przykładem).

Obwód ten będzie działał z idealnie idealnie liniowym wzmacniaczem operacyjnym, a wyjście nigdy nie przechodzi w nieskończoność lub nasyca, ale przy 0 V na wyjściu może wynosić około +6 lub około -6 na wyjściu, z jedną parą lub drugą diodami przewodzącymi . Będzie również działał z „prawie idealnymi” diodami, które mają przedni spadek, gdy są włączone, i żadnych innych nonidealities.

(i oczywiście diody tunelowe są szczególnym przypadkiem z ich niemonotoniczną krzywą IV).

Dowód prawdopodobnie musiałby wymagać jedynie elementów pasywnych, takich jak rezystory (brak zależnych źródeł prądu lub napięcia). A może tylko z idealnymi diodami o napięciu 0 V Vf.

To nie jest kompletny dowód, ale być może pomoże ci to:

Jeśli istnieje wiele rozwiązań, istnieje co najmniej jedna dioda, która może być skierowana do przodu lub do tyłu. Rozważ jedną taką diodę. W danym rozwiązaniu jest on tendencyjny do przodu lub do tyłu. Zdefiniujmy napięcia na jego zaciskach, Va i Vb, tak, że jeśli jest tendencyjne do przodu, Va> = Vb, a jeśli jest tendencyjne do tyłu, Vb> = Va. W przypadku tendencyjnym do przodu lub do tyłu, reszta obwodu (RotC) wytwarza te napięcia na zaciskach diody.

Ponieważ stwierdziłeś, że obwód składa się z elementów liniowych i diod, albo RotC jest siecią czysto liniową, albo zawiera więcej diod.

Jeśli RotC jest siecią czysto liniową, ma tylko jedno rozwiązanie, a jedynym rozwiązaniem dla ograniczeń Va> = Vb i Vb> = Va jest to, że Va = Vb.

Jeśli RotC zawiera więcej diod z wieloma możliwymi rozwiązaniami, rozważ kolejną taką diodę. Ponownie jest albo podłączony do sieci liniowej, albo do sieci z większą liczbą diod z wieloma możliwymi rozwiązaniami.

Jeśli założymy, że w obwodzie jest skończona liczba diod ...