Kiedy jest to wymagane lub dozwolone, aby pobrać próbkę poniżej wskaźnika Nyquista

15

Przeszukałem poprzednie pytania i odpowiedzi na tej platformie, ale żadne nie odpowiada na to pytanie. Profesor powiedział, że pod pewnymi warunkami możliwe jest pobieranie próbek poniżej wskaźnika Nyquista. Chciałbym najpierw wiedzieć, czy można to zrobić, a jeśli tak, to kiedy?

Mikky Mikky
źródło
13
gdy nie jesteś zainteresowany rekonstrukcją kształtu fali.
JonRB
2
Poniższe odpowiedzi oferują jedno podejście do twojego pytania; kiedy przeczytałem twoje pytanie, pierwszą myślą, która przyszła mi do głowy, było to, że twój instruktor miał na myśli próbkowanie rzadkich sygnałów przez sub-Nyquista . Istnieje wiele artykułów na ten temat; patrz np. Mishali, Moshe i Yonina C. Eldar. „Od teorii do praktyki: próbkowanie sub-Nyquista rzadkich szerokopasmowych sygnałów analogowych.” (Możesz również rozważyć zadanie oddzielnego, bardziej skoncentrowanego pytania na temat DSP.SE, jeśli zależy ci na rzadkim kącie).
Mad Jack
2
@JRRB, zakładając, że masz monofoniczny sygnał radiowy FM na nośnej 100 MHz, czy naprawdę uważasz, że musisz go próbkować przy 200 MHz +?
Vladimir Cravero
3
Pozwolony przez kogo? Jestem prawie pewien, że mogę pobierać próbki w dowolnym wybranym przez siebie zakresie, w zaciszu własnego domu.
David Richerby,
1
@DrunkenCodeMonkey Nie. Przepustowość komercyjnego sygnału FM wynosi 300 kHz, więc wystarczająca byłaby częstotliwość próbkowania 600 kHz.
user207421,

Odpowiedzi:

33

Przede wszystkim pozbądźmy się błędnego przekonania o stawce Nyquista.

Zazwyczaj uczy się ludzi, że minimalna częstotliwość próbkowania musi być dwukrotnością częstotliwości najwyższej częstotliwości w sygnale. To jest całkowicie fałszywe!

Prawdą jest, że jeśli masz „pełne” spektrum, a przez pełne, to znaczy, że całkowicie wykorzystuje wszystkie częstotliwości między dolną krawędzią szerokości pasma a górną krawędzią szerokości pasma, musisz mieć częstotliwość próbkowania jest to co najmniej dwukrotność przepustowości sygnału.

Widmo

Na zdjęciu tutaj częstotliwość próbkowania musi wynosić co najmniej 2 * (Fh-Fl), aby uzyskać widmo.

Należy również pamiętać, że po zakończeniu próbkowania wszystkie informacje o rzeczywistej częstotliwości są tracone w próbkowanym sygnale. Tutaj zaczyna się cała historia o częstotliwości Nyquista. Jeśli częstotliwość próbkowania jest dwa razy wyższa od częstotliwości sygnału, możemy bezpiecznie założyć (ponieważ często uczymy się robić to podświadomie), że wszystkie częstotliwości w próbkowanym sygnale mieszczą się w przedziale od zera do połowy częstotliwości próbkowania.
W rzeczywistości widmo próbkowanego sygnału jest okresowe w okolicach Fs / 2 i możemy użyć tej częstotliwości w celu uzyskania niższych częstotliwości próbkowania.
Spójrz na następujące zdjęcie: Strefy Nyquista
Obszar między 0 a Fs / 2 to tak zwana pierwsza strefa Nyquista. Jest to obszar, w którym przeprowadzamy „tradycyjne” próbkowanie. Następnie spójrz na obszar między Fs / 2 i Fs. To druga strefa Nyquista. Jeśli mamy jakieś sygnały w tym obszarze, ich widmo zostanie próbkowane, a jego widmo zostanie odwrócone, to znaczy wysokie i niskie częstotliwości zostaną odwrócone. Następnie mamy trzecią strefę Nyquista, między Fs a 3Fs / 2. Sygnały tutaj, po próbkowaniu, będą wyglądały tak, jakby pochodziły z pierwszej strefy, a ich spektrum będzie normalne. To samo dotyczy wszystkich pozostałych stref, z tą regułą, że widmo stref nieparzystych jest normalne, a spektrum stref parzystych jest odwrócone.

Jest to sprzeczne z „tradycyjnymi” regułami aliasingu, ponieważ aliasing jest zwykle nauczany jako jakiś zły potwór, który zjada twoje sygnały i że musisz się go pozbyć, stosując dolnoprzepustowe filtry antyaliasingowe. W prawdziwym życiu tak naprawdę nie działają. Filtry antyaliasingu nie mogą faktycznie zapobiec aliasingowi, po prostu obniżają go do poziomu, na którym nie ma już znaczenia.
Zamiast tego chcemy naprawdę wyeliminować silny sygnał ze stref Nyquist, które nie są interesujące, i przepuścić sygnały z interesującej nas strefy Nyquist. Jeśli jesteśmy w pierwszej strefie, to filtr dolnoprzepustowy jest w porządku, ale dla wszystkich innych stref potrzebujemy filtra pasmowo-przepustowego, który pozwoli nam uzyskać przydatne sygnały z tej strefy i usunąć śmieci, które nie nie potrzebuje, że pochodzi z innych stref.

Spójrzmy więc na ten przykład: tutaj mamy sygnał w trzeciej strefie Nyquista przepuszczanej przez filtr pasmowo-przepustowy. Nasz ADC będzie musiał mieć częstotliwość próbkowania tylko dwukrotnie większą niż szerokość pasma sygnału, aby go zrekonstruować, ale zawsze musimy pamiętać, że jest to tak naprawdę sygnał z trzeciej strefy, kiedy musimy obliczyć częstotliwości wewnątrz naszego sygnał. Ta procedura jest często nazywana próbkowaniem pasmowoprzepustowym lub próbkowaniem pośrednim.
Strefy Nyquista z sygnałem pasmowo-przepustowym

Teraz, po całym tym wykładzie, aby odpowiedzieć na twoje pytanie, kiedy:
Cóż, spójrzmy na radio, może coś w spektrum mikrofalowym, może WiFi. Typowy kanał WiFi w starym stylu może mieć szerokość pasma 20 MHz, ale częstotliwość nośna wyniesie około 2,4 GHz. Tak więc, jeśli przyjmiemy nasze naiwne podejście do próbkowania sygnału bezpośrednio, potrzebujemy ADC 5 GHz, aby zobaczyć nasz sygnał, mimo że interesuje nas tylko 20 MHz widma. Konwerter analogowo-cyfrowy 5 GHz jest bardzo skomplikowany i drogi, a także wymaga bardzo skomplikowanej i kosztownej konstrukcji. Z drugiej strony ADC 40 MHz to coś, co nie jest tak „magiczne” jak ADC 5 GHz.
Należy pamiętać, że chociaż teoretycznie moglibyśmy wychwytywać sygnał za pomocą przetwornika ADC 40 MHz, potrzebowalibyśmy bardzo ostrych filtrów antyaliasingowych, więc w praktyce nie chcemy przeprowadzać próbkowania częstotliwość zbyt blisko pasma. Kolejną rzeczą, która jest również pomijana, jest to, że obwód rzeczywistego ADC zachowuje się jak filtr sam w sobie. Podczas próbkowania pasmowoprzepustowego należy wziąć pod uwagę efekty filtrowania ADC. Dość często istnieją specjalne przetworniki ADC o szerokościach pasma znacznie szerszych niż częstotliwość próbkowania, które zostały zaprojektowane specjalnie z myślą o próbkowaniu pasmowo-przepustowym.

Wreszcie jest druga strona tej historii, a także tak zwane wyczuwanie skompresowane. Nie jestem w tym ekspertem i jest to coś, co wciąż jest nieco nowe, ale podstawową ideą jest to, że jeśli pewne założenia zostaną spełnione (takie jak to, że widmo jest rzadkie), możemy próbkować na częstotliwościach nawet niższych niż dwukrotność szerokości pasma sygnału.

AndrejaKo
źródło
2
Heh, codziennie wyjaśniam ludziom różne schematy. Naprawdę wierzę, że zgrubny rysunek jest podstawowym językiem inżyniera :)
Marcus Müller
2
To dało mi retrospekcje analizy danych wiatru radaru Dopplera.
Casey
2
czy w twoim przykładowym scenariuszu próbka „20 MHz ADC” przy 20 MHz, czy próbka przy 40 MHz? Ale wcześniej stwierdzasz, że do konwersji nośnika 2,4 GHz wymagany jest „ADC 5 GHz”. Wnioskuję więc, że „ADC 20 MHz” oznacza próbkę 20 megapikseli na sekundę. Coś jest nie tak: fs = 2 * BW.
glen_geek
1
W czasach poprzedzających zakresy cyfrowe niektóre firmy tworzyły „zakresy próbkowania”, które wykorzystywałyby próbkę analogową i utrzymywałyby krótki czas przechwytywania, dzięki czemu gdyby ktoś wiedział, że dane wejściowe mają np. Tylko zawartość między 10,02 MHz a 10,03 MHz, można próbkować w 10.000 MHz i zobacz sygnał w zakresie od 20 kHz do 30 kHz. Jeśli częstotliwość próbkowania była dobrze skalibrowana, można było zmierzyć częstotliwość poza ekranem zakresu dokładniej, niż można było zmierzyć taką częstotliwość bezpośrednio z ekranu.
supercat
1
+1; bardzo dobra odpowiedź. Na koniec dodam tylko jedną rzecz do twojej dyskusji na temat próbkowania WiFi za pomocą ADC 40 MHz. Chociaż jest to w zasadzie możliwe, w praktyce nie chcesz próbować próbkować sygnału w ~ 120. strefie Nyquista. Podpróbkowanie jest powszechną techniką, ale w praktycznych systemach jest zwykle ograniczone do próbkowania w strefie drugiej lub trzeciej strefy Nyquista (i być może czwartej). Wraz ze wzrostem częstotliwości sygnału szkodliwy efekt jittera zegara ADC staje się proporcjonalnie gorszy. W każdym razie nie byłoby możliwe znalezienie ADC 40 MSPS z analogową przepustowością 2,4 GHz.
Jason R
13

Tak więc wielu ludzi, w tym profesorów, jest zdezorientowanych co do tego, jaka jest stopa Nyquista:

Częstotliwość Nyquista to częstotliwość próbkowania potrzebna do próbkowania sygnału, aby uniknąć jego uszkodzenia przez aliasing

Oznacza to, że w przypadku sygnałów o wartości rzeczywistej i próbkowania o wartości rzeczywistej częstotliwość próbkowania musi być ponad dwa razy większa niż szerokość pasma sygnału analogowego.

Oznacza to, że przy częstotliwości próbkowania 6 kHz można uzyskać 100% reprezentację dowolnego pasma o szerokości 3 kHz.

To nie nie znaczy, że potrzeby częstotliwość próbkowania być dwukrotnie najwyższa częstotliwość w sygnale. Jeśli na przykład Twoje 3 kHz jest pasmem między 9 kHz a 12 kHz, nie musisz próbkować przy 2,12 kHz = 24 kHz; 6 kHz wystarcza całkowicie, aby jednoznacznie przedstawić sygnał cyfrowo. Nadal musisz wiedzieć, że twoje 3 kHz były wyśrodkowane wokół 10,5 kHz, jeśli chcesz później powiązać je z innymi sygnałami, ale zwykle to nie ma znaczenia.

Nazywamy tę technikę podpróbkowaniem , która działa pięknie i jest w 100% standardową techniką z wieloma aplikacjami technicznymi. Musisz tylko upewnić się, że wszystko, co widzi Twój ADC (przetwornik analogowo-cyfrowy), jest ograniczone do połowy częstotliwości próbkowania - oznacza to, w powyższym przykładzie, że musisz mieć pewność, że nie ma sygnału poniżej 9 kHz i nie ma sygnał powyżej 12 kHz.


zaawansowane komentarze

złożony pasmo podstawowe

Zauważ, że dotyczy to tylko próbkowania w wartościach rzeczywistych. Jeśli użyłeś rzeczy takich jak demodulatory IQ (znane również jako miksery z bezpośrednią konwersją , demodulatory kwadraturowe ) w celu uzyskania złożonego, równoważnego pasma podstawowego , otrzymasz dwa strumienie synchronicznych próbek. W takim przypadku współczynnik 2 spada. Jest to bardzo ważny aspekt dla radia programowego .

struktury wielofazowe

Jeśli jesteś w dalszej części kursu DSP, twój profesor mógł zasugerować, że możesz zaimplementować takie rzeczy, jak racjonalne resamplery, w których normalnie będziesz musiał próbkować próbkę o współczynnik M, a następnie filtrować, aby usunąć wszystkie obrazy (filtr działa z częstotliwością wejściową · M), a następnie filtruje, aby uniknąć wszystkich aliasów (filtr działa z częstotliwością wejściową · M) przed próbkowaniem w dół o N, z pojedynczym filtrem, który skutecznie działa z 1 / N szybkości wejściowej - która w rzeczywistości jest sub -Próbkowanie Nyquista. Ale to byłby w zasadzie jeden z głównych punktów wykładu na temat systemów wielofazowych / wielorasowych i wątpię, by umieścił to w kursie dla początkujących - to po prostu zbyt mylące.

Marcus Müller
źródło
8

Nigdy. Musisz jednak upewnić się, że dokładnie rozumiesz, czym tak naprawdę jest „wskaźnik Nyquista”.

Nyquist stwierdził, że można zrekonstruować sygnał, o ile jest on próbkowany z częstotliwością większą niż dwukrotność przepustowości sygnału. Ta szerokość pasma może, ale nie musi zaczynać się od prądu stałego, ale wiele źródeł na ten temat zakłada, że ​​zawsze tak jest, i że najwyższa składowa częstotliwości sygnału determinuje szybkość Nyquista.

Na przykład, jeśli masz sygnał nadawczy AM o częstotliwości 1 MHz, który jest ograniczony do ± 10 kHz, jego częstotliwość Nyquist wynosi 2 × 20 kHz = 40 kHz, a nie 2 × 1,01 MHz = 2,02 MHz.

Dave Tweed
źródło
@ user287001: To prawda, tylko jeśli założymy, że pasma boczne są identyczne (czysty AM). W przypadku różnych systemów stereo AM i / lub hybrydowych sygnałów analogowo-cyfrowych ( IBOC ) itp. Nie jest to prawidłowe założenie. I nie, operator nie dodaje żadnych informacji, więc nie wiem, dlaczego uważasz, że „włączenie” nagle tak gwałtownie zwiększa przepustowość.
Dave Tweed
Próbki BTW przy Fs> 2,02 MHz zapisują fakt, że sygnał wynosił około 1 MHz - wystarczy tylko wiedzieć, że nie dochodzi do aliasingu.
287001,
+1 dla „nigdy”. Jednak sprzeczność (ogromne zamieszanie) polega na tym, że próbkowanie Nyquista ocenia (szacuje) sygnał prosto z DC do f / 2. Z DC . Dlatego jeśli sygnał nie zaczyna się od prądu stałego, może zostać przekształcony w dół, a tylko wtedy częstotliwość próbkowania może zostać zmniejszona. Tak więc odpowiedź brzmi „nigdy”.
Ale..chenski
6

Profesor powiedział, że pod pewnymi warunkami możliwe jest pobieranie próbek poniżej wskaźnika Nyquista.

Jeśli wszystko, co Cię interesuje, to obliczenie wartości RMS kształtu fali, możesz pobrać próbkę poniżej nyquist: -

wprowadź opis zdjęcia tutaj

Niebieska fala jest również falą sinusoidalną o tej samej wartości RMS co oryginał. Czego należy unikać:

wprowadź opis zdjęcia tutaj

Dokładnie dwie próbki są pobierane w każdym cyklu i nie wiadomo, czy aliasowany sygnał był w rzeczywistości falą czerwoną czy falą zieloną.

Andy aka
źródło
fapróbafasygnał
@marcus Myślę, że opisałem tę anomalię!
Andy vel
Czy twoja wartość RMS nie będzie zależeć od fazy, w której następuje próbkowanie? tzn. jeśli masz pecha, możesz „spojrzeć” tylko na zero skrzyżowań lub tylko na szczyty.
Marcus Müller,
1
@ MarcusMüller: Co więcej, część sygnału przy danej częstotliwości będzie nie do odróżnienia od częstotliwości jakiejkolwiek innej częstotliwości, która jest przesuwana w górę lub w dół o całkowitą wielokrotność częstotliwości próbkowania. Jeśli próbkuje się z częstotliwością 100 Hz, sygnał 60 Hz będzie wyglądał jak sygnał 40 Hz. Jeśli sygnał 40 Hz byłby w porządku, świetnie. Ale sygnał przy 99, 101, 199, 201 itd. Hz pojawiłby się jako sygnał 1 Hz, a sygnał przy 99,99 Hz pojawiłby się jako sygnał 0,01 Hz.
supercat
Próbkowanie i częstotliwość podstawowa muszą być różne i nie powinny być dzielone na liczby całkowite. Nie twierdzę, że jest to z konieczności proste, a nawet pożądane, po prostu zaznaczam, że jest to możliwe. Drugi obraz w mojej odpowiedzi odnosi się do potencjalnej wady.
Andy vel
2

Kryterium nyquist mówi, jak często trzeba próbkować w celu odtworzenia sygnału o ograniczonym paśmie. Jednak żadne sygnały fizyczne nie są ograniczone pasmem, to tylko idealizacja. Inne schematy będą działać na próbkowanie innych wyidealizowanych sygnałów. Dając ci a priori informacje o sygnale (o ograniczonym paśmie), Nyquist mówi ci, jak zrekonstruować cały sygnał z kilku próbek. Jeśli dam ci inne informacje a priori, możesz zrobić lepiej niż nyquist. Oto przykład: moje wyidealizowane sygnały są fragmentarycznie liniowe. Trzeba tylko próbkować te sygnały w punktach przegięcia: o wiele mniej próbek niż jedna potrzeba dla sygnałów o ograniczonym paśmie. Aby zrekonstruować cały sygnał, narysuj linie proste między punktami próbkowania. Możesz to nazwać kryterium „Linequist”. :)

Linequist
źródło
1

Okresowy sygnał może być próbkowany przy użyciu częstotliwości próbkowania sub-Nyquista. Jest to dobrze wykorzystywane w oscyloskopach. Dla każdego powtórzenia sygnału zapisywana jest jedna próbka, ale w innej pozycji okresu. Potrzebujesz 512 próbek? potrzebne jest 512 pełnych sygnałów sygnału.

Dokładność:

Łatwo zauważyć, że w ten sposób można uchwycić stacjonarną falę sinusoidalną. Ale te 512 próbek musi obejmować sygnał. To prawda, jeśli 256. i wyższe harmoniczne można uznać za zera.

TTJ
źródło
0

Czasami jest to celowo wykonywane, np. W oscyloskopie próbkującym (nie takim samym jak DSO, chociaż niektóre OSD również próbkują - ale oscyloskop próbkujący może być urządzeniem całkowicie analogowym i został zbudowany od lat 50. XX wieku), aby radzić sobie z okresowymi sygnały, które mają zbyt wysoką częstotliwość, aby być ekonomicznym, aby je wzmocnić lub w inny sposób potraktować za pomocą obwodów liniowych - nie ma wielu CRT oscyloskopowych (red.), które mogłyby poradzić sobie z surowym sygnałem 1 GHz (niektóre istnieją!), jednak 1GHz było łatwe do pokonania przez niepełne próbkowanie nawet w technologii z lat 60. Ostatecznie cały system zachowuje się podobnie (nie identycznie) jak odbiornik heterodyningowy. Chociaż nie ma wysokiej częstotliwości LO fali ciągłej, nadal jest ukryty (i używany) składnik o bardzo wysokiej częstotliwości w używanym zegarze próbkowania:

Oczywiście, nieokresowy sygnał nie może być badany w ten sposób, a sygnał z dodanymi składnikami o znacznie niższej częstotliwości może być całkowicie błędnie zinterpretowany i / lub źle zinterpretowany.

rackandboneman
źródło
0

Myślę, że to, co powiedział [rackandboneman], jest zgodne z intencją profesora. „Pewnym warunkiem” byłoby to, że oryginalny sygnał powinien być okresowy.

Oto kod pokazujący, jak zrekonstruować pierwotny sygnał z niedostatecznie próbkowanego sygnału. Oryginalny sygnał potrzebuje okresu próbkowania 1/100, aby odtworzyć swój unikalny wzór (chociaż jego częstotliwość podstawowa wynosi 8/100). Dzięki próbkowaniu z okresem próbkowania 1,5 / 100 sek wzór pierwotnego sygnału jest odtwarzany prawie idealnie z okresem próbkowania odbudowy 0,5 / 100. (W skrócie, okres próbkowania 0,5 / 100 jest wykonywany z okresu próbkowania 1,5 / 100.)

dt = 1/1000;
t = 0:1/1000:1.28-1/1000;
x1 = 10000*t(1:20).^2;
x2 = -10000*(t(21:40)-0.04).^2+8;
x3 = 8*ones(1,20);
x4 = -800*t(61:70)+56;
x5 = zeros(1,10);

x = [x1 x2 x3 x4 x5] ; 
x = [x x x x];
x = [x x x x];  % make x to be periodic

dtz = 1.5/100;
tz = 0:dtz:1.28-1/1000;
z = x(1: round(dtz/dt) : end);
figure('Name', 'undersampled signal');
plot(tz,z,'o',t,x,'-')
legend('Under sampled signal', 'The original signal')

wprowadź opis zdjęcia tutaj

figure('Name', 'Reconstructed signal');
plot(t(1:5:160),z(mod((0:31)*11,16)+1), 'o-',t(1:160),x(1:160), '-');
legend('Reconstructed signal', 'The original signal')

wprowadź opis zdjęcia tutaj

Gaster
źródło
Można to uczynić o wiele jaśniejszym. Jakiej techniki używasz do rekonstrukcji? Skąd pochodzą magiczne liczby w „z (mod ((0:31) * 11,16) +1)”)? Również podstawowy OKRES wynosi 8/100, a nie częstotliwość - ale dla Nyquista liczy się NAJWYŻSZA częstotliwość.
Selvek
0

Jeżeli sygnał jest próbkowany z częstotliwością S, każda treść o częstotliwości f będzie nie do odróżnienia od innych treści o częstotliwości NS + f lub NS-f dla niektórych liczb całkowitych N.

To, czy dana częstotliwość próbkowania jest odpowiednia, będzie zależeć od tego, czy istnieją dwie częstotliwości, których treść musiałaby zostać rozróżniona, ale nie może.

Jeśli ktoś np. Martwi się tylko sygnałami w zakresie 700–800 Hz, wejście będzie pozbawione treści poniżej 300 Hz lub powyżej 1200, a obecność innych sygnałów nie spowoduje przesterowania, częstotliwość próbkowania 1000 Hz byłaby wystarczająca bez jakiegokolwiek wstępnego filtrowanie, pomimo obecności treści, których łączna szerokość pasma wynosi 900 Hz. Treści w zakresie od 300 Hz do 700 Hz byłyby nie do odróżnienia od treści w zakresie od 800 Hz do 1200 Hz, ale jeśli nie przejmują się treściami, które nie miałyby znaczenia.

supercat
źródło