Kiedy jest to wymagane lub dozwolone, aby pobrać próbkę poniżej wskaźnika Nyquista

Przeszukałem poprzednie pytania i odpowiedzi na tej platformie, ale żadne nie odpowiada na to pytanie. Profesor powiedział, że pod pewnymi warunkami możliwe jest pobieranie próbek poniżej wskaźnika Nyquista. Chciałbym najpierw wiedzieć, czy można to zrobić, a jeśli tak, to kiedy?

Przede wszystkim pozbądźmy się błędnego przekonania o stawce Nyquista.

Zazwyczaj uczy się ludzi, że minimalna częstotliwość próbkowania musi być dwukrotnością częstotliwości najwyższej częstotliwości w sygnale. To jest całkowicie fałszywe!

Prawdą jest, że jeśli masz „pełne” spektrum, a przez pełne, to znaczy, że całkowicie wykorzystuje wszystkie częstotliwości między dolną krawędzią szerokości pasma a górną krawędzią szerokości pasma, musisz mieć częstotliwość próbkowania jest to co najmniej dwukrotność przepustowości sygnału.

Na zdjęciu tutaj częstotliwość próbkowania musi wynosić co najmniej 2 * (Fh-Fl), aby uzyskać widmo.

Należy również pamiętać, że po zakończeniu próbkowania wszystkie informacje o rzeczywistej częstotliwości są tracone w próbkowanym sygnale. Tutaj zaczyna się cała historia o częstotliwości Nyquista. Jeśli częstotliwość próbkowania jest dwa razy wyższa od częstotliwości sygnału, możemy bezpiecznie założyć (ponieważ często uczymy się robić to podświadomie), że wszystkie częstotliwości w próbkowanym sygnale mieszczą się w przedziale od zera do połowy częstotliwości próbkowania.
W rzeczywistości widmo próbkowanego sygnału jest okresowe w okolicach Fs / 2 i możemy użyć tej częstotliwości w celu uzyskania niższych częstotliwości próbkowania.
Spójrz na następujące zdjęcie:
Obszar między 0 a Fs / 2 to tak zwana pierwsza strefa Nyquista. Jest to obszar, w którym przeprowadzamy „tradycyjne” próbkowanie. Następnie spójrz na obszar między Fs / 2 i Fs. To druga strefa Nyquista. Jeśli mamy jakieś sygnały w tym obszarze, ich widmo zostanie próbkowane, a jego widmo zostanie odwrócone, to znaczy wysokie i niskie częstotliwości zostaną odwrócone. Następnie mamy trzecią strefę Nyquista, między Fs a 3Fs / 2. Sygnały tutaj, po próbkowaniu, będą wyglądały tak, jakby pochodziły z pierwszej strefy, a ich spektrum będzie normalne. To samo dotyczy wszystkich pozostałych stref, z tą regułą, że widmo stref nieparzystych jest normalne, a spektrum stref parzystych jest odwrócone.

Jest to sprzeczne z „tradycyjnymi” regułami aliasingu, ponieważ aliasing jest zwykle nauczany jako jakiś zły potwór, który zjada twoje sygnały i że musisz się go pozbyć, stosując dolnoprzepustowe filtry antyaliasingowe. W prawdziwym życiu tak naprawdę nie działają. Filtry antyaliasingu nie mogą faktycznie zapobiec aliasingowi, po prostu obniżają go do poziomu, na którym nie ma już znaczenia.
Zamiast tego chcemy naprawdę wyeliminować silny sygnał ze stref Nyquist, które nie są interesujące, i przepuścić sygnały z interesującej nas strefy Nyquist. Jeśli jesteśmy w pierwszej strefie, to filtr dolnoprzepustowy jest w porządku, ale dla wszystkich innych stref potrzebujemy filtra pasmowo-przepustowego, który pozwoli nam uzyskać przydatne sygnały z tej strefy i usunąć śmieci, które nie nie potrzebuje, że pochodzi z innych stref.

Spójrzmy więc na ten przykład: tutaj mamy sygnał w trzeciej strefie Nyquista przepuszczanej przez filtr pasmowo-przepustowy. Nasz ADC będzie musiał mieć częstotliwość próbkowania tylko dwukrotnie większą niż szerokość pasma sygnału, aby go zrekonstruować, ale zawsze musimy pamiętać, że jest to tak naprawdę sygnał z trzeciej strefy, kiedy musimy obliczyć częstotliwości wewnątrz naszego sygnał. Ta procedura jest często nazywana próbkowaniem pasmowoprzepustowym lub próbkowaniem pośrednim.

Teraz, po całym tym wykładzie, aby odpowiedzieć na twoje pytanie, kiedy:
Cóż, spójrzmy na radio, może coś w spektrum mikrofalowym, może WiFi. Typowy kanał WiFi w starym stylu może mieć szerokość pasma 20 MHz, ale częstotliwość nośna wyniesie około 2,4 GHz. Tak więc, jeśli przyjmiemy nasze naiwne podejście do próbkowania sygnału bezpośrednio, potrzebujemy ADC 5 GHz, aby zobaczyć nasz sygnał, mimo że interesuje nas tylko 20 MHz widma. Konwerter analogowo-cyfrowy 5 GHz jest bardzo skomplikowany i drogi, a także wymaga bardzo skomplikowanej i kosztownej konstrukcji. Z drugiej strony ADC 40 MHz to coś, co nie jest tak „magiczne” jak ADC 5 GHz.
Należy pamiętać, że chociaż teoretycznie moglibyśmy wychwytywać sygnał za pomocą przetwornika ADC 40 MHz, potrzebowalibyśmy bardzo ostrych filtrów antyaliasingowych, więc w praktyce nie chcemy przeprowadzać próbkowania częstotliwość zbyt blisko pasma. Kolejną rzeczą, która jest również pomijana, jest to, że obwód rzeczywistego ADC zachowuje się jak filtr sam w sobie. Podczas próbkowania pasmowoprzepustowego należy wziąć pod uwagę efekty filtrowania ADC. Dość często istnieją specjalne przetworniki ADC o szerokościach pasma znacznie szerszych niż częstotliwość próbkowania, które zostały zaprojektowane specjalnie z myślą o próbkowaniu pasmowo-przepustowym.

Wreszcie jest druga strona tej historii, a także tak zwane wyczuwanie skompresowane. Nie jestem w tym ekspertem i jest to coś, co wciąż jest nieco nowe, ale podstawową ideą jest to, że jeśli pewne założenia zostaną spełnione (takie jak to, że widmo jest rzadkie), możemy próbkować na częstotliwościach nawet niższych niż dwukrotność szerokości pasma sygnału.

Tak więc wielu ludzi, w tym profesorów, jest zdezorientowanych co do tego, jaka jest stopa Nyquista:

Częstotliwość Nyquista to częstotliwość próbkowania potrzebna do próbkowania sygnału, aby uniknąć jego uszkodzenia przez aliasing

Oznacza to, że w przypadku sygnałów o wartości rzeczywistej i próbkowania o wartości rzeczywistej częstotliwość próbkowania musi być ponad dwa razy większa niż szerokość pasma sygnału analogowego.

Oznacza to, że przy częstotliwości próbkowania 6 kHz można uzyskać 100% reprezentację dowolnego pasma o szerokości 3 kHz.

To nie nie znaczy, że potrzeby częstotliwość próbkowania być dwukrotnie najwyższa częstotliwość w sygnale. Jeśli na przykład Twoje 3 kHz jest pasmem między 9 kHz a 12 kHz, nie musisz próbkować przy 2,12 kHz = 24 kHz; 6 kHz wystarcza całkowicie, aby jednoznacznie przedstawić sygnał cyfrowo. Nadal musisz wiedzieć, że twoje 3 kHz były wyśrodkowane wokół 10,5 kHz, jeśli chcesz później powiązać je z innymi sygnałami, ale zwykle to nie ma znaczenia.

Nazywamy tę technikę podpróbkowaniem , która działa pięknie i jest w 100% standardową techniką z wieloma aplikacjami technicznymi. Musisz tylko upewnić się, że wszystko, co widzi Twój ADC (przetwornik analogowo-cyfrowy), jest ograniczone do połowy częstotliwości próbkowania - oznacza to, w powyższym przykładzie, że musisz mieć pewność, że nie ma sygnału poniżej 9 kHz i nie ma sygnał powyżej 12 kHz.

złożony pasmo podstawowe

Zauważ, że dotyczy to tylko próbkowania w wartościach rzeczywistych. Jeśli użyłeś rzeczy takich jak demodulatory IQ (znane również jako miksery z bezpośrednią konwersją , demodulatory kwadraturowe ) w celu uzyskania złożonego, równoważnego pasma podstawowego , otrzymasz dwa strumienie synchronicznych próbek. W takim przypadku współczynnik 2 spada. Jest to bardzo ważny aspekt dla radia programowego .

struktury wielofazowe

Jeśli jesteś w dalszej części kursu DSP, twój profesor mógł zasugerować, że możesz zaimplementować takie rzeczy, jak racjonalne resamplery, w których normalnie będziesz musiał próbkować próbkę o współczynnik M, a następnie filtrować, aby usunąć wszystkie obrazy (filtr działa z częstotliwością wejściową · M), a następnie filtruje, aby uniknąć wszystkich aliasów (filtr działa z częstotliwością wejściową · M) przed próbkowaniem w dół o N, z pojedynczym filtrem, który skutecznie działa z 1 / N szybkości wejściowej - która w rzeczywistości jest sub -Próbkowanie Nyquista. Ale to byłby w zasadzie jeden z głównych punktów wykładu na temat systemów wielofazowych / wielorasowych i wątpię, by umieścił to w kursie dla początkujących - to po prostu zbyt mylące.

Nigdy. Musisz jednak upewnić się, że dokładnie rozumiesz, czym tak naprawdę jest „wskaźnik Nyquista”.

Nyquist stwierdził, że można zrekonstruować sygnał, o ile jest on próbkowany z częstotliwością większą niż dwukrotność przepustowości sygnału. Ta szerokość pasma może, ale nie musi zaczynać się od prądu stałego, ale wiele źródeł na ten temat zakłada, że ​​zawsze tak jest, i że najwyższa składowa częstotliwości sygnału determinuje szybkość Nyquista.

Na przykład, jeśli masz sygnał nadawczy AM o częstotliwości 1 MHz, który jest ograniczony do ± 10 kHz, jego częstotliwość Nyquist wynosi 2 × 20 kHz = 40 kHz, a nie 2 × 1,01 MHz = 2,02 MHz.

Profesor powiedział, że pod pewnymi warunkami możliwe jest pobieranie próbek poniżej wskaźnika Nyquista.

Jeśli wszystko, co Cię interesuje, to obliczenie wartości RMS kształtu fali, możesz pobrać próbkę poniżej nyquist: -

Niebieska fala jest również falą sinusoidalną o tej samej wartości RMS co oryginał. Czego należy unikać:

Dokładnie dwie próbki są pobierane w każdym cyklu i nie wiadomo, czy aliasowany sygnał był w rzeczywistości falą czerwoną czy falą zieloną.

Kryterium nyquist mówi, jak często trzeba próbkować w celu odtworzenia sygnału o ograniczonym paśmie. Jednak żadne sygnały fizyczne nie są ograniczone pasmem, to tylko idealizacja. Inne schematy będą działać na próbkowanie innych wyidealizowanych sygnałów. Dając ci a priori informacje o sygnale (o ograniczonym paśmie), Nyquist mówi ci, jak zrekonstruować cały sygnał z kilku próbek. Jeśli dam ci inne informacje a priori, możesz zrobić lepiej niż nyquist. Oto przykład: moje wyidealizowane sygnały są fragmentarycznie liniowe. Trzeba tylko próbkować te sygnały w punktach przegięcia: o wiele mniej próbek niż jedna potrzeba dla sygnałów o ograniczonym paśmie. Aby zrekonstruować cały sygnał, narysuj linie proste między punktami próbkowania. Możesz to nazwać kryterium „Linequist”. :)

Okresowy sygnał może być próbkowany przy użyciu częstotliwości próbkowania sub-Nyquista. Jest to dobrze wykorzystywane w oscyloskopach. Dla każdego powtórzenia sygnału zapisywana jest jedna próbka, ale w innej pozycji okresu. Potrzebujesz 512 próbek? potrzebne jest 512 pełnych sygnałów sygnału.

Dokładność:

Łatwo zauważyć, że w ten sposób można uchwycić stacjonarną falę sinusoidalną. Ale te 512 próbek musi obejmować sygnał. To prawda, jeśli 256. i wyższe harmoniczne można uznać za zera.

Czasami jest to celowo wykonywane, np. W oscyloskopie próbkującym (nie takim samym jak DSO, chociaż niektóre OSD również próbkują - ale oscyloskop próbkujący może być urządzeniem całkowicie analogowym i został zbudowany od lat 50. XX wieku), aby radzić sobie z okresowymi sygnały, które mają zbyt wysoką częstotliwość, aby być ekonomicznym, aby je wzmocnić lub w inny sposób potraktować za pomocą obwodów liniowych - nie ma wielu CRT oscyloskopowych (red.), które mogłyby poradzić sobie z surowym sygnałem 1 GHz (niektóre istnieją!), jednak 1GHz było łatwe do pokonania przez niepełne próbkowanie nawet w technologii z lat 60. Ostatecznie cały system zachowuje się podobnie (nie identycznie) jak odbiornik heterodyningowy. Chociaż nie ma wysokiej częstotliwości LO fali ciągłej, nadal jest ukryty (i używany) składnik o bardzo wysokiej częstotliwości w używanym zegarze próbkowania:

Oczywiście, nieokresowy sygnał nie może być badany w ten sposób, a sygnał z dodanymi składnikami o znacznie niższej częstotliwości może być całkowicie błędnie zinterpretowany i / lub źle zinterpretowany.

Myślę, że to, co powiedział [rackandboneman], jest zgodne z intencją profesora. „Pewnym warunkiem” byłoby to, że oryginalny sygnał powinien być okresowy.

Oto kod pokazujący, jak zrekonstruować pierwotny sygnał z niedostatecznie próbkowanego sygnału. Oryginalny sygnał potrzebuje okresu próbkowania 1/100, aby odtworzyć swój unikalny wzór (chociaż jego częstotliwość podstawowa wynosi 8/100). Dzięki próbkowaniu z okresem próbkowania 1,5 / 100 sek wzór pierwotnego sygnału jest odtwarzany prawie idealnie z okresem próbkowania odbudowy 0,5 / 100. (W skrócie, okres próbkowania 0,5 / 100 jest wykonywany z okresu próbkowania 1,5 / 100.)

dt = 1/1000;
t = 0:1/1000:1.28-1/1000;
x1 = 10000*t(1:20).^2;
x2 = -10000*(t(21:40)-0.04).^2+8;
x3 = 8*ones(1,20);
x4 = -800*t(61:70)+56;
x5 = zeros(1,10);

x = [x1 x2 x3 x4 x5] ; 
x = [x x x x];
x = [x x x x];  % make x to be periodic

dtz = 1.5/100;
tz = 0:dtz:1.28-1/1000;
z = x(1: round(dtz/dt) : end);
figure('Name', 'undersampled signal');
plot(tz,z,'o',t,x,'-')
legend('Under sampled signal', 'The original signal')

figure('Name', 'Reconstructed signal');
plot(t(1:5:160),z(mod((0:31)*11,16)+1), 'o-',t(1:160),x(1:160), '-');
legend('Reconstructed signal', 'The original signal')

Jeżeli sygnał jest próbkowany z częstotliwością S, każda treść o częstotliwości f będzie nie do odróżnienia od innych treści o częstotliwości NS + f lub NS-f dla niektórych liczb całkowitych N.

To, czy dana częstotliwość próbkowania jest odpowiednia, będzie zależeć od tego, czy istnieją dwie częstotliwości, których treść musiałaby zostać rozróżniona, ale nie może.

Jeśli ktoś np. Martwi się tylko sygnałami w zakresie 700–800 Hz, wejście będzie pozbawione treści poniżej 300 Hz lub powyżej 1200, a obecność innych sygnałów nie spowoduje przesterowania, częstotliwość próbkowania 1000 Hz byłaby wystarczająca bez jakiegokolwiek wstępnego filtrowanie, pomimo obecności treści, których łączna szerokość pasma wynosi 900 Hz. Treści w zakresie od 300 Hz do 700 Hz byłyby nie do odróżnienia od treści w zakresie od 800 Hz do 1200 Hz, ale jeśli nie przejmują się treściami, które nie miałyby znaczenia.