Warunek brzegowy współczynnika Poissona

Powiedzmy, że mam duże ciało izotropowe w napięciu jednoosiowym, na które nakłada się mały prostokątny kawałek folii. Pomyśl o tensometrze na dużym ciele, ale „tensometr” to jedna ciągła warstwa izotropowa.

Niech kierunek x i y będzie na powierzchni dużego ciała i kierunku z normalnym (przekłuwanie przez tensometr).

w duże ciało Otrzymuję $ Sigma_x = Sigma_0; Sigma_y = Sigma_z = 0 $. W związku z tym

$$ {wyrównaj} epson_x i = frac {Sigma_x} {E} epson_y = epson_z & amp; = frac {Sigma_x Nu} {E} end {align} $$

Jakie jest napięcie w małym ciele?

Myślałem, że: zakładając, że mam idealną warstwę graniczną i pomijalną grubość folii, odkształcenie powinno być takie samo jak w dużym ciele. Jest to zgodne z literaturą dla $ epson_x $ i $ epson_y $. Ale wciąż czytam wyrażenie dla $ epson_z $ w Małe ciało z udziałem $ nu_B $ dużego ciała i $ nu_s $ małego ciała:

$$ epson_ {z, smallbody} = - frac {nu_s (1- nu_B)} {1- nu_s} Sigma_x / E $$

Czy ktoś może wyjaśnić, jak uzyskać ten wynik?

Chciałbym zacząć od stwierdzenia, że ​​moja odpowiedź nie jest dokładnie taka sama, jak ta znaleziona w literaturze. Jest prawie taki sam, ale jeden znak jest przełączany. Nie wiem, czy źle to napisałeś, czy gdzieś zawiedli ( bardzo możliwe , proszę popraw mnie, jeśli znajdziesz mój błąd). Niezależnie od tego, jestem tak blisko, że jestem pewien, że błąd jest gdzieś na tej stronie (oczywiście nie w literaturze). I jest wystarczająco blisko, aby pokazać, skąd pochodzi to równanie, które jest twoim rzeczywistym pytaniem.

Warto zauważyć kluczową różnicę między małymi i dużymi ciałami: duże ciało jest w napięciu jednoosiowym, ale małe jest pod naprężeniem dwuosiowym. Jest naprężony na osi x, ale jest ściskany na osi y. Równania deformacji dla stresu dwuosiowego są następujące:

$$ {wyrównaj} epson_x & amp; = dfrac {1} {E} (Sigma_x - Nu Sigma_y) epson_y & amp; = dfrac {1} {E} (- nu Sigma_x + Sigma_y) epson_z & amp; = dfrac {- nu} {E} (Sigma_x + Sigma_y) end {align} $$

Twoje małe ciało jest pod znanym $ epson_x $ i $ epson_y $ (równe tym z dużego ciała). Z tego możemy obliczyć $ sigma_ {x, s} $ i $ Sigma_ {y, s} $. (Wszystkie zmienne z indeksem $ s $ są dla małego ciała, $ b $ dla dużego ciała)

$$ {wyrównaj} eilon_ {x, s} = epson_ {x, b} & amp; = dfrac {1} {E_s} (sigma_ {x, s} - uu sigma_ {y, s}) dfrac {sigma_ {x, b}} {E_b} & amp; = dfrac {1} {E_s} (sigma_ {x, s} - uu_s sigma_ {y, s}) zatem sigma_ {x, s} & amp; = dfrac {E_ s Sigma_ {x, b}} {E_b} + uu sigma_ {y, s} epson_ {y, s} = epson_ {y, b} & amp; = dfrac {1} {E_s} (- uu_s sigma_ {x, s} + Sigma_ {y, s}) dfrac {Nu_b Sigma_ {x, b}} {E_b} & amp; = dfrac {1} {E_s} (- Nu_s Sigma_ {x, s} + Sigma_ {y, s}) zatem sigma_ {y, s} i = dfrac {E_s nu_b sigma_ {x, b}} {E_b} + uu sigma_ {x, s} zatem sigma_ {x, s} i = dfrac {E_ s Sigma_ {x, b}} {E_b} + uu s z lewej (dfrac {E_s nu_b sigma_ {x, b}} {E_b} + uu sigma_ {x, s} dobrze) Sigma_ {x, s} & amp; = dfrac {E_ s Sigma_ {x, b}} {E_b} cdot dfrac {1 + uu_s uu_b} {1- nu_s ^ 2} zatem sigma_ {y, s} i = dfrac {E_s nu_b sigma_ {x, b}} {E_b} + uu s z lewej (dfrac {E_ s sigma_ {x, b}} {E_b} cdot dfrac {1 + uu_s uu_b} {1- nu_s ^ 2} dobrze) Sigma_ {y, s} & amp; = dfrac {E_ s Sigma_ {x, b}} {E_b} po lewej (uu_b + uu_s dfrac {1 + uu_s nu_b} {1- nu_s ^ 2 }\dobrze) end {align} $$

Teraz po prostu podłączamy je do równania $ epson_z $. Tutaj jest wiele do uproszczenia, więc pokażę każdy z kroków.

$$ {wyrównaj} epson_z & amp; = - dfrac {uu_s} {E_s} po lewej (dfrac {E_s sigma_ {x, b}} {E_b} cdot dfrac {1 + uu_s uu_b} {1- nu_s ^ 2} + dfrac {E_ s Sigma_ {x, b}} {E_b} po lewej (uu_b + uu_s dfrac {1 + uu_s uu_b} {1- nu_s ^ 2} po prawej) prawo ) epson_z & amp; = - nu_s left (dfrac {sigma_ {x, b}} {E_b} cdot dfrac {1 + uu_s uu_b} {1- nu_s ^ 2} + reffr { sigma_ {x, b}} {E_b} po lewej (uu_b + uu_s dfrac {1 + uu_s uu_b} {1- nu_s ^ 2} po prawej) prawo) epson_z & amp; = - dfrac {uu sigma_ {x, b}} {E_b} po lewej (dfrac {1 + uu_s uu_b} {1- uu_s ^ 2} + uu_b + uu_s dfrac {1 + nu_s nu_b} {1- nu_s ^ 2} dobrze) epson_z & amp; = - dfrac {uu sigma_ {x, b}} {E_b} po lewej (dfrac {1 + uu_s uu_b} {1- uu_s ^ 2} (1+ nu_s) + nu_b prawo) epson_z & amp; = - dfrac {uu sigma_ {x, b}} {E_b} po lewej (dfrac {1 + uu_s uu_b} {1- uu_s} + uu_b dobrze) epson_z & amp; = - dfrac {uu sigma_ {x, b}} {E_b} po lewej (dfrac {1 + uu_s uu_b} {1- uu_s} + frfrac {(1- uu) ) uu_b} {1- nu_s} prawo) epson_z & amp; = - dfrac {uu sigma_ {x, b}} {E_b} po lewej (dfrac {1 + uu_s uu_b + uu_b- uu_s uu_b} {1- uu_s} dobrze) \\ epson_z & amp; = - dfrac {uu sigma_ {x, b}} {E_b} cdot dfrac {1 + uu_b} {1- nu_s} end {align} $$

Jest to prawie identyczne z równaniem, które podałeś z literatury, z wyjątkiem tego, że moje równanie ma $ 1 + Nu_b $, podczas gdy literatura ma $ 1 - Nu_b $. Nie rozumiem, gdzie poszedłem źle (lub jeśli napisałeś to źle), ale jest to tak bliskie, że uważam, że powinno wykazać, skąd pochodzi literatura.