Warunek brzegowy współczynnika Poissona

6

Powiedzmy, że mam duże ciało izotropowe w napięciu jednoosiowym, na które nakłada się mały prostokątny kawałek folii. Pomyśl o tensometrze na dużym ciele, ale „tensometr” to jedna ciągła warstwa izotropowa.

Niech kierunek x i y będzie na powierzchni dużego ciała i kierunku z normalnym (przekłuwanie przez tensometr).

w duże ciało Otrzymuję $ Sigma_x = Sigma_0; Sigma_y = Sigma_z = 0 $. W związku z tym

$$ {wyrównaj} epson_x i = frac {Sigma_x} {E} epson_y = epson_z & amp; = frac {Sigma_x Nu} {E} end {align} $$

Jakie jest napięcie w małym ciele?

Myślałem, że: zakładając, że mam idealną warstwę graniczną i pomijalną grubość folii, odkształcenie powinno być takie samo jak w dużym ciele. Jest to zgodne z literaturą dla $ epson_x $ i $ epson_y $. Ale wciąż czytam wyrażenie dla $ epson_z $ w Małe ciało z udziałem $ nu_B $ dużego ciała i $ nu_s $ małego ciała:

$$ epson_ {z, smallbody} = - frac {nu_s (1- nu_B)} {1- nu_s} Sigma_x / E $$

Czy ktoś może wyjaśnić, jak uzyskać ten wynik?

JLo
źródło
Czekaj, czy w literaturze jest napisane, że $ epson_y qqon_z $ dla dużego ciała w jednoosiowym napięciu?
Wasabi
Nie tylko dla małego ciała. Zmodyfikowałem pytanie, aby to było jaśniejsze.
JLo

Odpowiedzi:

2

Chciałbym zacząć od stwierdzenia, że ​​moja odpowiedź nie jest dokładnie taka sama, jak ta znaleziona w literaturze. Jest prawie taki sam, ale jeden znak jest przełączany. Nie wiem, czy źle to napisałeś, czy gdzieś zawiedli ( bardzo możliwe , proszę popraw mnie, jeśli znajdziesz mój błąd). Niezależnie od tego, jestem tak blisko, że jestem pewien, że błąd jest gdzieś na tej stronie (oczywiście nie w literaturze). I jest wystarczająco blisko, aby pokazać, skąd pochodzi to równanie, które jest twoim rzeczywistym pytaniem.


Warto zauważyć kluczową różnicę między małymi i dużymi ciałami: duże ciało jest w napięciu jednoosiowym, ale małe jest pod naprężeniem dwuosiowym. Jest naprężony na osi x, ale jest ściskany na osi y. Równania deformacji dla stresu dwuosiowego są następujące:

$$ {wyrównaj} epson_x & amp; = dfrac {1} {E} (Sigma_x - Nu Sigma_y) epson_y & amp; = dfrac {1} {E} (- nu Sigma_x + Sigma_y) epson_z & amp; = dfrac {- nu} {E} (Sigma_x + Sigma_y) end {align} $$

Twoje małe ciało jest pod znanym $ epson_x $ i $ epson_y $ (równe tym z dużego ciała). Z tego możemy obliczyć $ sigma_ {x, s} $ i $ Sigma_ {y, s} $. (Wszystkie zmienne z indeksem $ s $ są dla małego ciała, $ b $ dla dużego ciała)

$$ {wyrównaj} eilon_ {x, s} = epson_ {x, b} & amp; = dfrac {1} {E_s} (sigma_ {x, s} - uu sigma_ {y, s}) dfrac {sigma_ {x, b}} {E_b} & amp; = dfrac {1} {E_s} (sigma_ {x, s} - uu_s sigma_ {y, s}) zatem sigma_ {x, s} & amp; = dfrac {E_ s Sigma_ {x, b}} {E_b} + uu sigma_ {y, s} epson_ {y, s} = epson_ {y, b} & amp; = dfrac {1} {E_s} (- uu_s sigma_ {x, s} + Sigma_ {y, s}) dfrac {Nu_b Sigma_ {x, b}} {E_b} & amp; = dfrac {1} {E_s} (- Nu_s Sigma_ {x, s} + Sigma_ {y, s}) zatem sigma_ {y, s} i = dfrac {E_s nu_b sigma_ {x, b}} {E_b} + uu sigma_ {x, s} zatem sigma_ {x, s} i = dfrac {E_ s Sigma_ {x, b}} {E_b} + uu s z lewej (dfrac {E_s nu_b sigma_ {x, b}} {E_b} + uu sigma_ {x, s} dobrze) Sigma_ {x, s} & amp; = dfrac {E_ s Sigma_ {x, b}} {E_b} cdot dfrac {1 + uu_s uu_b} {1- nu_s ^ 2} zatem sigma_ {y, s} i = dfrac {E_s nu_b sigma_ {x, b}} {E_b} + uu s z lewej (dfrac {E_ s sigma_ {x, b}} {E_b} cdot dfrac {1 + uu_s uu_b} {1- nu_s ^ 2} dobrze) Sigma_ {y, s} & amp; = dfrac {E_ s Sigma_ {x, b}} {E_b} po lewej (uu_b + uu_s dfrac {1 + uu_s nu_b} {1- nu_s ^ 2 }\dobrze) end {align} $$

Teraz po prostu podłączamy je do równania $ epson_z $. Tutaj jest wiele do uproszczenia, więc pokażę każdy z kroków.

$$ {wyrównaj} epson_z & amp; = - dfrac {uu_s} {E_s} po lewej (dfrac {E_s sigma_ {x, b}} {E_b} cdot dfrac {1 + uu_s uu_b} {1- nu_s ^ 2} + dfrac {E_ s Sigma_ {x, b}} {E_b} po lewej (uu_b + uu_s dfrac {1 + uu_s uu_b} {1- nu_s ^ 2} po prawej) prawo ) epson_z & amp; = - nu_s left (dfrac {sigma_ {x, b}} {E_b} cdot dfrac {1 + uu_s uu_b} {1- nu_s ^ 2} + reffr { sigma_ {x, b}} {E_b} po lewej (uu_b + uu_s dfrac {1 + uu_s uu_b} {1- nu_s ^ 2} po prawej) prawo) epson_z & amp; = - dfrac {uu sigma_ {x, b}} {E_b} po lewej (dfrac {1 + uu_s uu_b} {1- uu_s ^ 2} + uu_b + uu_s dfrac {1 + nu_s nu_b} {1- nu_s ^ 2} dobrze) epson_z & amp; = - dfrac {uu sigma_ {x, b}} {E_b} po lewej (dfrac {1 + uu_s uu_b} {1- uu_s ^ 2} (1+ nu_s) + nu_b prawo) epson_z & amp; = - dfrac {uu sigma_ {x, b}} {E_b} po lewej (dfrac {1 + uu_s uu_b} {1- uu_s} + uu_b dobrze) epson_z & amp; = - dfrac {uu sigma_ {x, b}} {E_b} po lewej (dfrac {1 + uu_s uu_b} {1- uu_s} + frfrac {(1- uu) ) uu_b} {1- nu_s} prawo) epson_z & amp; = - dfrac {uu sigma_ {x, b}} {E_b} po lewej (dfrac {1 + uu_s uu_b + uu_b- uu_s uu_b} {1- uu_s} dobrze) \\ epson_z & amp; = - dfrac {uu sigma_ {x, b}} {E_b} cdot dfrac {1 + uu_b} {1- nu_s} end {align} $$

Jest to prawie identyczne z równaniem, które podałeś z literatury, z wyjątkiem tego, że moje równanie ma $ 1 + Nu_b $, podczas gdy literatura ma $ 1 - Nu_b $. Nie rozumiem, gdzie poszedłem źle (lub jeśli napisałeś to źle), ale jest to tak bliskie, że uważam, że powinno wykazać, skąd pochodzi literatura.

Wasabi
źródło
Wow, wielkie dzięki! Równanie deformacji dla $ epson_z $ ma literówkę - mówi $ epson_x $. Nadal pracuję nad resztą. Sprawdziłem ponownie literaturę i skopiowałem ją poprawnie (DOI 10.1016 / 0040-6090 (74) 90001-7, równ. 18)
JLo
Zhakowałem go w Matlab i daje to dokładnie twoje rozwiązanie. Więc wydaje mi się, że moja literatura jest błędna lub używa innej konwencji znakowej lub źle zrozumiałem? Spróbuję się domyślić.
JLo
Po prostu przyszło mi do głowy, że może to być spowodowane zdefiniowaniem $ epson_ {y, b} = dfrac {nu sigma} {E} $, ale myślę, że powinien być ujemny (kompresja). Nie mogę powtórzyć matematyki, aby sprawdzić, czy to jest właśnie teraz, spróbuję później (lub możesz spróbować na Matlabie).
Wasabi
Słuszna uwaga! Sprawdziłem Matlab i daje $ - dfrac {1- nu_b} {1- nu_s} $ (pomijając drugą frakcję). I jest to zgodne z literaturą, ponieważ znalazłem swój błąd. Zmodyfikuje pytanie, aby odzwierciedlić znak. Jest to również wiarygodne, ponieważ termin zawsze będzie dawał ujemną wartość $ onon_z $. Jestem więc pewien, że to jest teraz poprawna odpowiedź.
JLo