Jak obliczyć zmianę energii cieplnej, gdy ciepło właściwe zmienia się w zależności od temperatury?

9

Wiele materiałów ma ciepło właściwe, które zmienia się w zależności od temperatury, zwłaszcza gdy zmiana temperatury rośnie. Jak obliczyć energię cieplną otrzymywaną przez obiekt w tym przypadku? Czy możemy po prostu użyć konkretnej pojemności cieplnej przy temperaturze początkowej lub końcowej?

mechanical-engineering thermodynamics heat-transfer energy Max Ning
źródło

10

Podobnie jak moja odpowiedź na temat obliczania siły dźwigni w sytuacji ciągłej ; musisz użyć integracji.

Zaczynasz od przyjęcia standardowego prawa cieplnego, które znasz i zastąpienie s różnicami: To nowe równanie brzmi: Dla nieskończenie małej (bardzo małej) zmiany temperatury dostaję nieskończenie małą (bardzo małą) zmianę ciepła. W granicy nieskończoności wszystko jest liniowe, więc to proste równanie liniowe nadal obowiązuje. Teraz wystarczy zsumować wszystkie nieskończenie małe zmiany strumienia ciepła za pomocą całkowania Jeśli tak naprawdę nie chcesz wykonywać integracji, to w porządku. Matlab nie będzie miał problemu z zrobieniem tego za Ciebie, a podejście Matlab działa, nawet jeśli nie masz funkcji analitycznej do opisania

Δ Q = c m Δ T

$\Delta Q=c\ m\ \Delta T$

Δ

$\Delta$

d Q = c (T) m d T .

$dQ=c(T)\ m\ dT.$

Δ Q = m \int_{T_{i}}^{T_{f}} c (T) d T .

$\Delta Q=m\int_{T_i}^{T_f}c(T)\ \ dT.$

c (T)

$c(T)$ (tzn. masz tylko dane). Jeśli nie masz dostępu do Matlaba, użyj Pythona . Jest darmowy, open source i niezwykle wydajny.

Chris Mueller
źródło

Nie zrozumcie mnie źle, jestem wielkim fanem Pythona, ale GNU Octave wydaje się lepiej pasować do roli bezpłatnej alternatywy dla MATLAB. Po pierwsze, jest kompatybilny z plikami .mat.

Air

@Air To może być prawda; Nigdy tak naprawdę nie korzystałem z Octave. Przejście na Python z Matlaba nie jest jednak trudne i, moim zdaniem, jest to język lepiej rozwinięty niż Octave. Wiem również, że numeryczne procedury integracji (część SciPy) w Pythonie są niezawodne, ponieważ korzystałem z nich wiele razy.

Chris Mueller

6

Ani. W takiej sytuacji nie ma „prostego” liniowego rozwiązania; musisz użyć rachunku całkowego, aby zsumować przyrostowe ciepło pochłaniane w każdej temperaturze po drodze. Jedynym momentem, w którym obliczenia te stają się zwykłym pomnożeniem, jest sytuacja, gdy sumowana ilość (ciepło właściwe) jest stała w całym zakresie całkowania.

Dave Tweed
źródło

5

Ani.

Jak już wspomniano, nie jest to trywialne, ale oto sugerowana metoda:

dokładnie odmierz pewną ilość paliwa, a następnie spal to paliwo i użyj materiału o bardzo stałej lub dobrze znanej pojemności cieplnej, aby określić, ile energii Twój test otrzymuje w czasie, rejestrując jego temperaturę.
użyj tej samej ilości paliwa, w tym samym aparacie, z próbką o identycznych właściwościach geometrycznych, ale innym materiale i powtórz eksperyment. Tym razem zakładasz energię, którą otrzymuje Twój testowany element na podstawie kroku 1 i używasz zarejestrowanej temperatury, aby określić konkretną pojemność cieplną materiału.
teraz, gdy masz już specyficzną krzywą pojemności cieplnej dla tego materiału, użyj jej jak każdego innego materiału, ale zintegruj swoją krzywą z mierzonym przedziałem temperatur, aby określić ilość pochłoniętej energii cieplnej.

Ta metoda nie jest doskonała, polega na superpozycji liniowej, która nie jest w pełni zgodna z temperaturą, ponieważ niektóre czynniki wymiany ciepła mają nieliniową zależność, ale nie jest to zła metoda „kalibracji” materiału na poziomie podstawowym.

thepowerofnone
źródło

4

Spróbowałbym dopasować materiał do modelu.
Model Debye jest „standardem”. (przepraszam, artykuł na wiki jest nieco przesadzony.) W modelu Debye materiał może być dopasowany do jednej „temperatury Debye”.

Edytuj na żądanie. (chociaż ufałbym artykułowi wiki nad moją odpowiedzią.) W wysokich temperaturach (ale nie za wysokich) materiały mają pojemność cieplną równą 3kT * N, gdzie N jest liczbą atomów. (To tylko atomy, a nie elektrony, liczą się do pojemności cieplnej, co jest interesujące ...) Gdy temperatura spada, atomy przestają się tak mocno trząść, a niektóre tryby wibracyjne „zamarzają”. Tryby mają tak wysoką energię, że nie ma wystarczającej ilości energii cieplnej, aby je wzbudzić. Temperatura Debye'a jest przybliżoną miarą zamarzania trybów, a pojemność cieplna zaczyna spadać.

George Herold
źródło

Czy możesz dodać trochę więcej informacji niż tylko link?

hazzey

3

Jeśli masz równanie , problem jest prosty (o ile integracja nie stanowi żadnego problemu), ponieważ jak odpowiedział Chris Mueller. $Cp=f(T)$

Δ Q = m \int_{T_{i}}^{T_{f}} C p (T) d T

$\Delta Q=m\int_{T_i}^{T_f}Cp(T)\ \ dT$

Pozwól nam przyznać, że znasz tylko i . Zatem interpoluj liniowo, aby uzyskać a po integracji otrzymasz co pokazuje, że wystarczy użyć średniej wartości znanych . $Cp(T_i)$ $Cp(T_f)$

C p (T) = C p (T_{i}) + \frac{C p (T_{f}) - C p (T_{i})}{T_{f} - T_{i}} (T - T_{i})

$Cp(T)=Cp(T_i)+\frac{Cp(T_f)-Cp(T_i)}{T_f-T_i} (T-T_i)$

Δ Q = m \frac{C p (T_{f}) + C p (T_{i})}{2} (T_{f} - T_{i})

$\Delta Q=m\, \frac{Cp(T_f)+Cp(T_i)}2 \,(T_f-T_i)$

C p

$Cp$

Claude Leibovici
źródło

jest to dokładnie właściwe, gdy funkcja jest liniowa; we wszystkich innych przypadkach jest to przybliżenie, dobre lub złe przybliżenie w zależności od oraz od tego, jak i jak wiele funkcji zmienia się z

c_{p}

$c_p$

δ T

$\delta T$

c_{p}

$c_p$

T

$T$

mattia. b89

@ mattia.b89. Masz całkowitą rację, ale z praktycznego punktu widzenia w ograniczonym zakresie temperatur jest prawie stała, a przybliżenie liniowe jest całkiem dobre. Jeśli tak nie jest, na pewno potrzebujemy więcej informacji (dopasuj dane eksperymentalne i zintegruj).

C p

$Cp$

Claude Leibovici,

Jak obliczyć zmianę energii cieplnej, gdy ciepło właściwe zmienia się w zależności od temperatury?

Odpowiedzi:

Ani.