Rozważam problem optymalizacji topologii, gdzie domeną projektową jest obracający się pierścień (w $ Mathbb {R} ^ 2 $). Jedno ze sprzężonych równań systemu Naviera-Stokesa, którego rozwiązanie ma być użyte w analizie czułości, ma słabą formę z prawą stroną: $$ int _ {Gamma _ {tekst {out}}} rho (r u) cdot omega) n cdot v + int _ {gamma _ {tekst {out}}} rho (r razy omega razy r) cdot omega) n cdot v + int_ { Gamma _ {tekst {out}}} (rho (omega razy r) bigotimes u) n cdot v, $$ gdzie $ v $ jest funkcją testową, $ r $ jest „prostopadłą do osi rotation "(założyłem, że jest to wektor położenia, patrz poniżej), $ omega $ jest prędkością kątową (która jest stała, powiedzmy $ | omega | = 500 $), $ Gamma _ {tekst {out }} $ to granica wypływu (zewnętrzna granica pierścienia), $ n $ jest normalną zewnętrzną do $ Gamma _ {tekst {out}} $ (tj. $ n (x) = frac {x} {| | x ||} $), $ u $ to prędkość obliczona przez rozwiązanie równań Naviera-Stokesa, a $ rho $ to gęstość masy (skalar). Zastanawiam się, jak mogę sformułować ten problem w przypadku problemu 2D. Teraz piszę $$ r (x) = początek {bmatrix} x_1 i amp; x_2 i 0 end {bmatrix} ^ top, omega (x) = frak {500} {|| x ||} rozpocznij {bmatrix} -x_2 i amp; x_1 i 0 {bmatrix} ^, $$ i tak dalej, traktując każdy wektor 2D jako wektor 3D w płaszczyźnie $ xy $, wykonując obliczenia ręcznie, a następnie jawnie je kodując (ponieważ oczywiście oprogramowanie PDE I Używam nie wiem jak zinterpretować iloczyn krzyżowy wektorów w $ Mathbb {R} ^ 2 $). Zastanawiam się, czy to podejście jest poprawne lub czy istnieje inny sposób sformułowania tego problemu, którego brakuje. Nie jestem też pewien, czy właściwie interpretuję $ r $ lub $ omega $, więc jeśli czegoś tam brakuje, byłbym wdzięczny za pewne opinie. Z wykształcenia nie jestem inżynierem ani fizykiem, więc nie znam konwencji dotyczących tych rzeczy!
źródło