Dlaczego stosowanie średniego ciśnienia w obliczeniach daje najbardziej dokładne wyniki?

W sadze o próbie odpowiedzi na pytanie, które przyszło mi do głowy podczas studiowania podstawowych pojęć mechaniki płynów, „Dlaczego podręczniki używają geometrycznego środka do obliczania ciśnienia hydrostatycznego podczas prezentowania manometrów?”, Po zapytaniu o to mojego profesora mechaniki płynów, konsultując ~ 20 podręczników, prosząc o to jako część to pytanie na Physics.SE, pytam o to tutaj dzięki rekomendacji użytkownika Physics.SE nie poddałem się i wreszcie znalazłem odpowiedź podczas czytania komentarzy na tym filmie na YouTube:

Jak działa piezometr Donalda Elgera

Dlaczego jest to [pomiar ciśnienia za pomocą piezometru] ze środka rury?

Odpowiedź Elgera: Zmiana ciśnienia na odcinku rury jest hydrostatyczna; tak więc ciśnienie zmienia się liniowo wraz z promieniem, a ciśnienie w środku rury jest średnim ciśnieniem. Jeśli użyjesz tej wartości ciśnienia w swoich obliczeniach, otrzymasz najdokładniejsze wyniki . W ten sposób inżynierowie prawie zawsze stosują lub mierzą ciśnienie w środku rury.

Dzięki tej nowej informacji pojawiło się nowe pytanie: Dlaczego średnie ciśnienie daje najdokładniejsze wyniki, jeśli używane w obliczeniach? Do jakich „obliczeń” się odnosi?

Zadałem również to pytanie Quora i zaczął wysyłać żądania. Ktoś odpowiedział. Prześlę odpowiedź.

Po przeczytaniu kontekstu dla tego pytania, tj. Najlepszej lokalizacji do pomiaru ciśnienia wzdłuż rury i tego, dlaczego jest to centrum, pomaga ponownie przyjrzeć się podstawom przepływu rur. Zasadniczo środek rury ma zerowe naprężenie ścinające, ponieważ profil prędkości jest typowo symetryczny i prawie nie ma turbulentnego ścinania. Jeśli prześledzimy linię środkową rury, zobaczymy, że całkowite ciśnienie na wlocie jest przekształcane w mieszankę ciśnienia statycznego i ciśnienia kinematycznego, prawie bez strat. Nie jest to prawdą w pobliżu ściany, gdzie występują straty lepkości w obszarze warstwy granicznej i mogą wystąpić znaczne turbulencje lub przepływ zwrotny. Środek rury jest więc czystszym miejscem do odczytu całkowitego ciśnienia lub ciśnienia statycznego. Oczywiście czujnik spowoduje zakłócenia w przepływie, które należy uwzględnić.    Autor: Roopesh Mathur

Zbudowałem przykład, aby uzupełnić odpowiedź Roopesh'a i podać przykład „obliczeń”, o których wspomina Elger.

Rozważmy eksperyment, w którym używana jest rurka Pitota i istnieje przepływ o profilu prędkości: $$ v (h) = V_ {max} cdot po lewej (1- frac {left | hR right |} {R} right) ^ {1/7}, zero 0 le h2 leq2R miejsce Zauważ, że $ v (h) = v (2R-h) $ , więc profil prędkości jest symetryczny, z przechodzącą osią symetrii $ h = R $ . Naszym celem jest ustalać $ V_ {max} $ . Poniżej znajduje się obraz ilustrujący eksperyment:

_{(Zaadaptowane z Fluid Mechanics - Yunus A. Çengel & Cimbala)}

Rura Pitota może mierzyć ciśnienie stagnacji w punkcie, gdzie $ P_ {stag} = P + rho frac {v ^ 2} {2} $ . Jeśli piezometr jest używany w połączeniu z rurką Pitota, możliwe jest obliczenie prędkości płynu w określonym miejscu przy użyciu ciśnienia statycznego $ P $ w tym miejscu, mierzone za pomocą piezometru, i ciśnienie stagnacji w tym miejscu, zmierzone rurką Pitota:

$$ v = srt {frac {2 (P_ {stag} -P)} {rho}} $$ Od $ v = v (h) $ , za pomocą wzoru profilu prędkości, mamy:

$$ begin {array} {r}         v = v (h)         P = P (h) = gamma cd (h + k)         P_ {stag} = P_ {stag} (h) = P (h) + rho frac {v ^ 2 (h)} {2}   end {array} right} v (h) = sqr {frac {2 left [P_ {stag} (h) -P (h) right]} {rho}} $$ Określić $ V_ {max} $ konieczne jest uzyskanie prędkości na określonej wysokości - za pomocą rurki Pitota, piezometru i formuły prędkości Pitota - a następnie zastąpienie wartości eksperymentalnej znalezionej we wzorze profilu prędkości. Na początku możemy wybrać dowolną wysokość, aby wykonać pomiary!

Odpowiedź Roopesh'a mówi nam, jaką najlepszą wysokość należy wybrać, aby uzyskać jak najdokładniejszy wynik: wysokość linii środkowej rury  ( $ h = R $ $ w moim przykładzie), ponieważ mamy tam „zerowe naprężenie ścinające” i „prawie żadne ścinanie burzliwe”. Ponadto na tej wysokości występują „prawie żadne straty” całkowitego ciśnienia. Następnie mamy:

$$ v (R) = sqr {frac {2 left [P_ {stag} (R) -P (R) right]} {rho}} = sqrt {frac {2 left [P_ {stag} (R) -P_ {average} right]} {rho}} $$

To potwierdza to, co powiedział Elger: „Jeśli użyjesz tej wartości [średniego ciśnienia] w swoich obliczeniach, otrzymasz najbardziej dokładne wyniki”.

Ogólnie więc średnie ciśnienie daje najdokładniejsze wyniki, jeśli zostanie użyte w obliczeniach, ponieważ istnieje wiele zastosowań / przypadków, w których lokalizacje z $ P = P_ {średnia} $ są najlepszymi miejscami do eksperymentalnego gromadzenia danych.