Jak ogólnie określić charakterystyczną długość w obliczeniach liczby Reynoldsa?

Rozumiem, że liczbę Reynoldsa podaje wyrażenie , gdzie to gęstość, to prędkość płynu, a to lepkość dynamiczna. Dla każdego zadanego problemu z dynamiką płynów, , i podano trywialnie. Ale jaka dokładnie jest długość charakterystyczna ? Jak dokładnie to obliczyć? Czego mogę użyć z danego problemu, aby automatycznie określić długość charakterystyczną? ρvμρvμ$Re=\frac{\rho v L}{\mu}$$\rho$$v$$\mu$$\rho$$v$$\mu$$L$

Chciałbym podejść do tego pytania z matematycznej perspektywy, która może być owocna, jak omówiono w niektórych komentarzach i odpowiedziach. Podane odpowiedzi są przydatne, ale chciałbym dodać:

1. Ogólnie najmniejszą dostępną skalą długości jest charakterystyczna skala długości.
2. Czasami (np. W systemach dynamicznych) nie ma skali o stałej długości do wyboru jako charakterystyczna skala długości. W takich przypadkach często można znaleźć dynamiczną skalę długości.

Charakterystyczne skale długości:

TL; DWTR: dla,jest charakterystyczną skalą długości; dla,jest charakterystyczną skalą długości. Oznacza to, że skala o mniejszej długości jest (zwykle) skalą charakterystyczną.R R / L ≫ 1 $R/L\ll1$$R$$R/L\gg1$$L$

Rozważ przypadek przepływu rur omówiony w innych odpowiedziach; jest promień ale także długość rury. Zazwyczaj bierzemy średnicę rury jako charakterystyczną skalę długości, ale czy tak jest zawsze? Spójrzmy na to z matematycznego punktu widzenia; zdefiniujmy współrzędne bezwymiarowe: L ˉ x = $R$$L$

$$\bar{x}=\frac{x}{L} \quad \bar{y}=\frac{y}{R} \quad \bar{u}=\frac{u}{U} \quad \bar{v}=\frac{v}{V} \quad \bar{p}=\frac{p}{\rho U^2}$$

Tutaj , , , są skalami współrzędnych i prędkości - ale niekoniecznie są ich skalami charakterystycznymi. Zauważ, że wybór skali ciśnienia obowiązuje tylko dla . Sprawa wymaga przeskalowania.R U V x y P = ρ U 2 R e ≫ 1 R e ≪ $L$$R$$U$$V$$x$$y$$P=\rho U^2$$\mathrm{Re}\gg1$$\mathrm{Re}\ll1$

Przekształcanie równania ciągłości do wielkości bezwymiarowych:

$$\boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{u}=0 \rightarrow \partial_{\bar{x}}\bar{u}+\partial_{\bar{y}}\bar{v}=0$$

co może mieć miejsce tylko wtedy, gdy założymy lub . Wiedząc o tym, liczba Reynoldsa może zostać na nowo zdefiniowana:$\frac{U}{V}\frac{R}{L}\sim1$$\frac{V}{U}\sim\frac{R}{L}$

$$\mathrm{Re}=\frac{UR}{\nu}=\frac{U}{V}\frac{R}{L}\frac{VL}{\nu}=\frac{VL}{\nu}=\hat{\mathrm{Re}}$$

Podobnie, przekształćmy równania Naviera-Stokesa ( -komponent tylko po to, aby był krótki): Widzimy tutaj liczbę Reynoldsa występującą naturalnie jako część proces skalowania. Jednak w zależności od stosunku geometrycznego równania mogą wymagać przeskalowania. Rozważ dwa przypadki:u ⋅ ∇ u = - $x$ ˉ u ∂ ˉ x ˉ u + ˉ v ∂ ˉ y ˉ u =-∂ ˉ x ˉ p +

$$\boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{\nabla u}=-\frac{1}{\rho}\boldsymbol{\nabla}p+\nu\triangle\boldsymbol{u}$$ R/ $$\bar{u}\partial_{\bar{x}}\bar{u}+\bar{v}\partial_{\bar{y}}\bar{u}=-\partial_{\bar{x}}\bar{p}+\frac{1}{\mathrm{Re}}\left[\frac{R}{L}\partial_{\bar{x}}^{2}\bar{u}+\frac{L}{R}\partial_{\bar{y}}^{2}\bar{u}\right]$$ $R/L$

• Promień rury jest znacznie mniejszy niż długość rury (tj. ):$R/L\ll1$

  Przekształcone równanie brzmi: Mamy tutaj problem, ponieważ termin może być bardzo duży, a odpowiednio wyskalowane równanie ma tylko współczynniki lub mniejsze. Dlatego potrzebujemy przeskalowania współrzędnych , prędkości i ciśnienia :

  $$\bar{u}\partial_{\bar{x}}\bar{u}+\bar{v}\partial_{\bar{y}}\bar{u}=-\partial_{\bar{x}}\bar{p}+\frac{1}{\mathrm{Re}}\frac{L}{R}\partial_{\bar{y}}^{2}\bar{u}$$ $\frac{1}{\mathrm{Re}}\frac{L}{R}$$O(1)$$\bar{x}$$\bar{v}$$\bar{p}$ $$\hat{x}=\bar{x}\left(\frac{R}{L}\right)^{\alpha}\quad\hat{v}=\bar{v}\left(\frac{R}{L}\right)^{-\alpha}\quad\hat{p}=\bar{p}\left(\frac{R}{L}\right)^{\beta}$$ Ten wybór przeskalowanych wielkości zapewnia, że ​​równanie ciągłości pozostaje w postaci: Navier-Stokes równania pod względem skalowanych wielkości dają: który jest odpowiednio skalowany za pomocą współczynniki lub mniejsze, gdy weźmiemy wartości . Oznacza to, że skala ciśnienia nie wymagała przeskalowania, ale skale długości i prędkości zostały ponownie zdefiniowane: $$\partial_{\hat{x}}\bar{u}+\partial_{\bar{y}}\hat{v}=0$$ $$\bar{u}\partial_{\hat{x}}\bar{u}+\hat{v}\partial_{\bar{y}}\bar{u}=-\partial_{\hat{x}}\hat{p}+\frac{1}{\mathrm{Re}}\partial_{\bar{y}}^{2}\bar{u}$$ $O(1)$$\alpha=-1,\,\beta=0$ $$\hat{x}=\bar{x}\frac{L}{R}=\frac{x}{R}\quad\hat{v}=\bar{v}\frac{R}{L}=\bar{v}\frac{V}{U}=\frac{v}{U}\quad\hat{p}=\bar{p}=\frac{p}{\rho U^{2}}$$ widzimy że charakterystyczną długość i prędkość na skalę odpowiednio i jest i jak założono na początku, ale i .$x$$v$$L$$V$$R$$U$

• Promień rury jest znacznie większy niż długość rury (tj. )$R/L\gg1$ :

  Przekształcone równanie brzmi: Podobnie jak w poprzednim przypadku może być bardzo duży i wymaga przeskalowania. Z wyjątkiem tego czasu wymagamy przeskalowania współrzędnych , prędkości i ciśnienia : Ten wybór przeskalowanych wielkości ponownie zapewnia, że ​​równanie ciągłości pozostanie w formie:

  $$\bar{u}\partial_{\bar{x}}\bar{u}+\bar{v}\partial_{\bar{y}}\bar{u}=-\partial_{\bar{x}}\bar{p}+\frac{1}{\mathrm{Re}}\frac{R}{L}\partial_{\bar{x}}^{2}\bar{u}$$ $\frac{1}{\mathrm{Re}}\frac{R}{L}$$\bar{y}$$\bar{u}$$\bar{p}$ $$\hat{y}=\bar{y}\left(\frac{R}{L}\right)^{\alpha}=\frac{y}{L}\quad\hat{u}=\bar{u}\left(\frac{R}{L}\right)^{-\alpha}\quad\hat{p}=\bar{p}\left(\frac{R}{L}\right)^{\beta}$$ $$\partial_{\bar{x}}\hat{u}+\partial_{\hat{y}}\bar{v}=0$$ Równania Naviera-Stokesa w zakresie przeskalowanych ilości dają: który jest odpowiednio skalowany za pomocą współczynników lub mniejsze, gdy weźmiemy wartości . Wskazuje to na nowe definicje skal długości, prędkości i ciśnienia: $$\hat{u}\partial_{\bar{x}}\hat{u}+\bar{v}\partial_{\hat{y}}\hat{u}=-\partial_{\bar{x}}\hat{p}+\frac{1}{\mathrm{\hat{\mathrm{Re}}}}\partial_{\bar{x}}^{2}\hat{u}$$ $O(1)$$\alpha=1\,\beta=-2$ $$\hat{y}=\bar{y}\frac{R}{L}=\frac{y}{L}\quad\hat{u}=\bar{u}\frac{L}{R}=\bar{u}\frac{U}{V}=\frac{u}{V}\quad\hat{p}=\bar{p}\left(\frac{L}{R}\right)^{2}=\bar{p}\left(\frac{U}{V}\right)^{2}=\frac{p}{\rho V^{2}}$$ i widzimy, że charakterystyczne skale długości, prędkości i ciśnienia odpowiednio dla , i nie są , , jak założono na początku, ale , i .$x$$v$$p$$R$$U$$\rho U^{2}$$L$$V$$\rho V^{2}$

Na wypadek, gdybyś zapomniał o tym wszystkim: dla , jest charakterystyczną skalą długości; dla , jest charakterystyczną skalą długości. Oznacza to, że skala o mniejszej długości jest (zwykle) skalą charakterystyczną.$R/L\ll1$$R$$R/L\gg1$$L$

Dynamiczne skale długości:

Rozważ dyfuzję gatunku do pół-nieskończonej domeny. Ponieważ jest nieskończony w jednym kierunku, nie ma skali o stałej długości. Zamiast tego „warstwa graniczna” ustala powoli skalę długości, która powoli przenika do dziedziny. Ta „długość penetracji”, jak czasami nazywana jest charakterystyczna skala długości, jest podawana jako:

$$\delta\left(t\right) = \sqrt{\pi D t}$$

gdzie jest współczynnikiem dyfuzji, a jest czasem. Jak widać, nie występuje tu skala długości ponieważ jest ona całkowicie determinowana przez dynamikę dyfuzji układu. Przykład takiego systemu można znaleźć w mojej odpowiedzi na to pytanie.t $D$$t$$L$

Jest to praktyczne, empiryczne pytanie, a nie teoretyczne, które matematyka może „rozwiązać”. Jednym ze sposobów odpowiedzi jest rozpoczęcie od fizycznego znaczenia liczby Reynoldsa: reprezentuje ona stosunek „typowych” sił bezwładności do sił lepkości w polu przepływu.

Więc patrzysz na typowy wzór przepływu i wybierasz najlepszy pomiar długości, który reprezentuje ten stosunek sił.

Na przykład podczas przepływu przez rurę kołową siły lepkości (ścinania) zależą od profilu prędkości od osi rury do ścian. Jeśli prędkość wzdłuż osi rury pozostaje taka sama, podwojenie promienia spowoduje (z grubsza) zmniejszenie o połowę prędkości ścinania między osią a ścianami (gdzie prędkość wynosi zero). Zatem promień lub średnica są dobrym wyborem dla charakterystycznej długości.

Oczywiście Re będzie inny (współczynnik 2), jeśli wybierzesz promień lub średnicę, więc w praktyce każdy dokonuje tego samego wyboru i wszyscy używają tej samej wartości krytycznej Re do przejścia z przepływu laminarnego do turbulentnego. Z praktycznego punktu widzenia inżynierii rozmiar rury jest określony przez jej średnicę, ponieważ to jest to, co jest łatwe do zmierzenia, więc równie dobrze możesz użyć średnicy dla Re.

W przypadku rury, która jest w przybliżeniu okrągła, możesz zdecydować (za pomocą podobnego fizycznego argumentu), że obwód rury jest naprawdę najważniejszą długością, a zatem porównaj wyniki z rurami okrągłymi, używając „średnicy równoważnej” zdefiniowanej jako (obwód / pi).

Z drugiej strony długość rury nie ma większego wpływu na przebieg przepływu płynu, więc dla większości celów byłby to zły wybór charakterystycznej długości Re. Ale jeśli rozważasz przepływ w bardzo krótkiej „rurze”, której długość jest znacznie mniejsza niż średnica, długość może być najlepszą liczbą do zastosowania jako parametr opisujący przepływ.

Istnieją trzy główne sposoby określania, które grupy terminów (bardziej ogólne niż tylko skala długości lub czasu) są istotne. Pierwszym z nich jest matematyka, która może polegać na rozwiązaniu problemu lub analogicznym lub odpowiednim problemie analitycznym i zobaczeniu pojawiających się terminów oraz dokonaniu wyboru, który odpowiednio upraszcza (więcej na ten temat poniżej). Drugie podejście polega na próbach i błędach, mniej więcej. Trzeci jest precedensowy, zwykle gdy ktoś w przeszłości przeprowadził już wcześniej wspomnianą analizę tego problemu lub powiązanych.

Istnieje wiele sposobów analizy teoretycznej, ale jednym z przydatnych w inżynierii jest niewymiarowanie równań rządzących. Czasami charakterystyczna długość jest oczywista, jak ma to miejsce w przypadku przepływu rurowego. Ale innym razem nie ma oczywistych charakterystycznych długości , jak ma to miejsce w przypadku swobodnych przepływów ścinających lub warstwy granicznej. W takich przypadkach można uczynić długość charakterystyczną dowolną zmienną i wybrać tę, która upraszcza problem . Oto kilka dobrych uwag na temat niewymiarowania , które zawierają następujące sugestie dotyczące znajdowania charakterystycznych skal czasu i długości:

1. (zawsze) Uczyń jak najwięcej bezwymiarowych stałych równych jedności, jak to możliwe.
2. (zwykle) Ustaw stałe pojawiające się w warunkach początkowych lub brzegowych równe jeden.
3. (zwykle) Jeśli istnieje stała bezwymiarowa, która, gdybyśmy ustawili ją na zero, znacznie uprościłaby problem, pozwoliła pozostać wolna, a następnie zobaczyć, kiedy możemy go zmniejszyć.

Drugim głównym podejściem jest całkowite rozwiązanie problemu i sprawdzenie, które grupy terminów się pojawiają. Zasadniczo odpowiednia długość jest oczywista, jeśli pobierasz termin z tego rodzaju analizy teoretycznej, chociaż tego rodzaju analizę często łatwiej powiedzieć niż zrobić.

Ale jak znaleźć dobrą długość, jeśli nie masz teoretycznej analizy, z której można by zacząć? Często nie ma znaczenia, którą długość wybierzesz. Niektórzy ludzie uważają, że jest to mylące, ponieważ nauczono ich, że przejście turbulencji zachodzi przy 2300 (dla rury) lub 500 000 (dla płaskiej płyty). Rozpoznaj, że w przypadku rury nie ma znaczenia, czy wybierzesz średnicę czy promień. To po prostu skaluje krytyczną liczbę Reynoldsa dwa razy. Ważne jest, aby upewnić się, że wszelkie stosowane kryteria są zgodne z definicją używanego numeru Reynoldsa i badanego problemu . Tradycja dyktuje, że używamy średnicy do przepływu rur.$Re$

Mówiąc ogólnie, analiza lub eksperymenty mogą sugerować inną liczbę, powiedzmy liczbę Biota, która ma również „charakterystyczną długość”. Procedury w tym przypadku są identyczne z już wspomnianymi.

Czasami możesz wykonać analizę heurystyczną w celu ustalenia odpowiedniej długości. W przykładzie z liczbą Biota ta charakterystyczna długość jest zwykle podawana jako objętość obiektu podzielona przez jego powierzchnię, ponieważ ma to sens w przypadku problemów z przenoszeniem ciepła. (Większa objętość = wolniejsze przenoszenie ciepła do środka i większa powierzchnia = szybsze przenoszenie ciepła do środka.) Ale przypuszczam, że można to wywnioskować z pewnych przybliżeń. Możesz podać podobny argument uzasadniający średnicę hydrauliczną .