Co oznacza zaplątanie się dwóch kubitów?

Zrobiłem pewnego rodzaju badania online kubitów i czynników powodujących, że stały się one niesławne, tj. Pozwalając kubitom pomieścić 1 i 0 w tym samym czasie, a innym jest to, że kubity można w jakiś sposób uwikłać, tak aby mogły mieć w sobie powiązane dane, bez względu na to, jak daleko są (nawet po przeciwnych stronach galaktyk).

Czytając o tym na Wikipedii, widziałem pewne równanie, które wciąż jest dla mnie trudne do zrozumienia. Oto link do Wikipedii .

Pytania:

1. Jak są zaplątani?

2. Jak odnoszą się do swoich danych?

Dla prostego przykładu załóżmy, że masz dwa kubity w określonych stanach i . Połączony stan systemu to lub w skrócie.| 0 ⟩ | 0 ⟩ ⊗ | 0 ⟩ | 00 $|0\rangle$$|0\rangle$$|0\rangle\otimes |0\rangle$$|00\rangle$

Następnie, jeśli zastosujemy następujące operatory do kubitów (obraz zostanie wycięty ze strony superdense kodowania wiki), powstały stan będzie stanem splątanym, jednym ze stanów dzwonka .

Najpierw na zdjęciu mamy bramę hadamard działającą na pierwszy kubit, który w dłuższej formie to więc jest to operator tożsamości na drugim kubicie.$H\otimes I$

Macierz hadamard wygląda następująco: gdzie uporządkowano podstawę .{| 0⟩,| 1⟩

$$H=\frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$$ $\{|0\rangle,|1\rangle\}$

Więc po zadziałaniu operatora hadamarda stan jest teraz

$$(H\otimes I)(|0\rangle\otimes|0\rangle)=H|0\rangle\otimes I |0\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle+|1\rangle)\otimes (|0\rangle)=\frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle+|10\rangle)$$

Kolejną częścią obwodu jest kontrolowana bramka, która działa tylko na drugi kubit, jeśli pierwszy kubit to .$1$

Możesz reprezentować jako , gdziejest operatorem projekcji na bit lub w postaci macierzy . Podobnieto .| 0 ⟩ ⟨ 0 | ⊗ I + | 1 ⟩ ⟨ 1 | ⊗ X | 0 ⟩ ⟨ 0 | 0 ( 1 0 0 0 ) | 1 ⟩ ⟨ 1 | ( 0 0 0 1$CNOT$$|0\rangle\langle0|\otimes I+|1\rangle\langle1|\otimes X$$|0\rangle\langle0|$$0$$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$$|1\rangle\langle1|$$\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

operator operator bitowy klapki reprezentowane .( 0 1 1 0$X$$\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$

Ogólnie macierz to( 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0$CNOT$$\begin{pmatrix} 1 & 0 &0 & 0 \\ 0 & 1 &0 & 0 \\ 0 & 0 &0 & 1 \\0 & 0 &1 & 0 \\\end{pmatrix}$

Kiedy zastosujemy , możemy albo użyć mnożenia macierzy, pisząc nasz stan jako wektor , lub możemy po prostu użyć formularza produktu tensor.( $CNOT$$\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \\0 \end{pmatrix}$

$$CNOT (\frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle+|10\rangle))=\frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle+|11\rangle)$$

Widzimy, że dla pierwszej części stanu pierwszy bit ma wartość , więc drugi bit pozostaje sam; druga część stanu pierwszy bit ma wartość , więc drugi bit jest odwracany od do .0 | 10 ⟩ 1 0 $|00\rangle$$0$$|10\rangle$$1$$0$$1$

Nasz stan końcowy to który jest jednym z czterech stanów Bell, które są stanami maksymalnie splątanymi.

$$\frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle+|11\rangle)$$

Aby zobaczyć, co to znaczy, że są zaplątani, zauważ, że jeśli chcesz zmierzyć stan pierwszego kubita, powiedz, jeśli odkryłeś, że było to , natychmiast powie ci, że drugi kubit również musi być , ponieważ to nasza jedyna możliwość.$0$$0$

Porównaj na przykład z tym stanem:

$$\frac{1}{2}(|00\rangle+|01\rangle+|10\rangle+|11\rangle).$$

Jeśli zmierzysz, że pierwszy kubit jest równy zero, to stan zapada się do , gdzie wciąż jest 50-50 szans na drugi qubit to lub .0$\frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle+|01\rangle)$$0$$1$

Mam nadzieję, że daje to wyobrażenie o tym, jak można zaplątać się w stany. Jeśli chcesz poznać konkretny przykład, na przykład splątanie fotonów lub elektronów itp., Musisz przyjrzeć się, w jaki sposób można zaimplementować pewne bramki, ale nadal możesz napisać matematykę w ten sam sposób, i mogą reprezentować różne rzeczy w różne sytuacje fizyczne.$0$$1$

---

Aktualizacja 1: Mini przewodnik po notacji QM / QC / Dirac

Zwykle istnieje standardowa podstawa obliczeniowa (orto-normalna) dla pojedynczego kubita, który to , powiedzmy nazwa jest przestrzenią wektorową.H = rozpiętość { | 0 ⟩ , | 1 ⟩ $\{|0\rangle,|1\rangle\}$$\mathcal{H}=\operatorname{span}\{|0\rangle,|1\rangle\}$

W tej kolejności podstaw możemy zidentyfikować pomocą i pomocą . Na tej podstawie można zapisać dowolnego operatora qubit w postaci macierzy. Np. Nieco odwrócony operator (po pauli- ), który powinien przyjąć i , można zapisać jako , pierwsza kolumna macierzy to obraz pierwszego wektora bazowego i tak dalej.$|0\rangle$$\begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix}$$|1\rangle$$\begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix}$$X$$\sigma_x$$|0\rangle\mapsto |1\rangle$$|1\rangle \mapsto |0\rangle$$\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}$

Gdy masz wiele powiedzmy qubits, powinny one należeć do spacji . Podstawa tego miejsca jest oznaczona ciągiem zer i jedynek, np. , który zwykle jest skracany dla uproszczenia jako .$n$$\mathcal{H}^{\otimes n}:=\overbrace{\mathcal{H}\otimes\mathcal{H}\otimes\cdots\otimes \mathcal{H}}^{n-times}$$|0\rangle\otimes|1\rangle\otimes |1\rangle\otimes\ldots \otimes|0\rangle$$|011\ldots0\rangle$

Prostym przykładem dla dwóch kubitów, podstawą dla , jest lub w skrócie .$\mathcal{H}^{\otimes 2}=\mathcal{H}\otimes \mathcal{H}$$\{|0\rangle\otimes|0\rangle,|0\rangle\otimes|1\rangle,|1\rangle\otimes|0\rangle,|1\rangle\otimes|1\rangle\}$$\{|00\rangle,|01\rangle,|10\rangle,|11\rangle\}$

Istnieją różne sposoby porządkowania tej podstawy w celu użycia macierzy, ale jednym z naturalnych jest uporządkowanie łańcuchów tak, jakby były liczbami binarnymi, tak jak powyżej. Na przykład dla kubitów można zamówić podstawę jako$3$

$$\{|000\rangle,|001\rangle,|010\rangle,|011\rangle,|100\rangle,|101\rangle,|110\rangle,|111\rangle\}.$$

Może to być przydatne, ponieważ odpowiada produktowi Kronecker dla matryc operatorów. Na przykład, najpierw patrząc na wektory podstawowe:

$$|0\rangle\otimes |0\rangle=\begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix}\otimes \begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix}:=\begin{pmatrix} 1\cdot\begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix} \\ 0\cdot\begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1\\ 0\\0\\0 \end{pmatrix}$$

i

$$|0\rangle\otimes |1\rangle=\begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix}\otimes \begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix}:=\begin{pmatrix} 1\cdot\begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix} \\ 0\cdot\begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\\ 1\\0\\0 \end{pmatrix}$$

i podobnie

$$|1\rangle\otimes |0\rangle=\begin{pmatrix} 0\\ 0\\1\\0 \end{pmatrix},\quad |1\rangle\otimes |1\rangle=\begin{pmatrix} 0\\ 0\\0\\1 \end{pmatrix}$$

Jeśli masz operator, np. który działa na dwa kubity, a podstawa jest uporządkowana jak wyżej, możemy wziąć iloczyn kroneckera macierzy, aby znaleźć macierz na tej podstawie:$X_1X_2:=X\otimes X$

$$X_1X_2=X\otimes X=\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}\otimes \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\cdot\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix} & 1\cdot\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}\\ 1\cdot\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix} & 0\cdot \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 &0&0&1\\ 0 &0&1&0\\0 &1&0&0\\1 &0&0&0\\ \end{pmatrix}$$

Jeśli spojrzymy na przykład wyżej podane jako . Można to obliczyć w postaci macierzy jako , które można sprawdzić, to powyższa macierz .$CNOT$$|0\rangle\langle0|\otimes I+|1\rangle\langle1|\otimes X$$^*$$\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix}\otimes \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 0 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}\otimes\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}$$CNOT$

Warto przyzwyczaić się do używania skrótów i produktów tensorowych zamiast przekształcania wszystkiego w reprezentację macierzy, ponieważ przestrzeń obliczeniowa rośnie jako dla kubitów, co oznacza, że ​​dla trzech łokci macie macierzy, kubitów mają macierzy i szybko staje się mniej niż praktyczne przekształcanie do postaci macierzy.$2^n$$n$$8\times 8$$4$$16\times 16$

Poza : Istnieje kilka popularnych sposobów używania notacji dirac do reprezentowania wektorów takich jak ; podwójne wektory np., produkt wewnętrzny między wektorami i ; operatory w przestrzeni, takie jak.| 0 ⟩ ⟨ 0 | ⟨ 0 | 1 ⟩ | 0 ⟩ | 1 ⟩ X = | 0 ⟩ ⟨ 1 | + | 1 ⟩ ⟨ 0 $^*$$|0\rangle$$\langle 0|$$\langle 0|1\rangle$$|0\rangle$$|1\rangle$$X=|0\rangle\langle1|+|1\rangle\langle0|$

Operator taki jakjest operatorem projekcji jest (prostopadłego) do operatora występ ponieważ spełnia i .P 2 = P P † = $P_0=|0\rangle\langle0|$$P^2=P$$P^\dagger=P$

Chociaż w linkowanym artykule na Wikipedii próbuje się użyć splątania jako cechy odróżniającej od fizyki klasycznej, myślę, że można zacząć rozumieć splątanie, patrząc na klasyczne rzeczy, w których nasza intuicja działa trochę lepiej ...

Wyobraź sobie, że masz generator liczb losowych, który za każdym razem wyrzuca liczbę 0,1,2 lub 3. Zwykle robisz to z takim samym prawdopodobieństwem, ale możemy przypisać dowolne prawdopodobieństwo każdemu pożądanemu wynikowi. Na przykład, dajmy 1 i 2 każdemu z prawdopodobieństwem 1/2, i nigdy nie dajmy 0 lub 3. Tak więc, za każdym razem, gdy generator liczb losowych wybierze coś, daje 1 lub 2 i nie wiesz z góry, co się dzieje być. Teraz napiszmy te liczby w systemie dwójkowym, 1 jako 01 i 2 jako 10. Następnie przekazujemy każdy bit innej osobie, powiedzmy Alice i Bob. Teraz, gdy generator liczb losowych wybiera wartość, 01 lub 10, Alice ma jedną część, a Bob drugą. Tak więc Alice może na to spojrzeć i niezależnie od tego, jaką wartość uzyska, wie, że Bob ma przeciwną wartość. Mówimy, że te bity są doskonale anty-skorelowane.

Splątanie działa w ten sam sposób. Na przykład możesz mieć stan kwantowy gdzie Alice trzyma jeden kubit , a Bob trzyma drugi. Niezależnie od tego, jaki Alicja zdecyduje się wykonać rzutowy pojedynczy kubit, otrzyma odpowiedź 0 lub 1. Jeśli Bob dokona tego samego pomiaru na swoim kubicie, zawsze otrzyma odpowiedź odwrotną. Obejmuje to pomiar w podstawie Z, która odtwarza klasyczny przypadek.| * F

$$\left|\psi\right\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\left|01\right\rangle-\left|10\right\rangle\right)$$ $\left|\psi\right\rangle$

Różnica wynika z faktu, że odnosi się to do każdej możliwej podstawy pomiaru i aby tak się stało, wynik pomiaru musi być nieprzewidywalny, i tam różni się od klasycznego przypadku (możesz przeczytać o testach Bella , w szczególności test CHSH ). W klasycznym przykładzie liczb losowych opisanym na początku, gdy generator liczb losowych coś wybrał, nie ma powodu, dla którego nie można go skopiować. Ktoś inny mógłby wiedzieć, jaką odpowiedź otrzymają zarówno Alice, jak i Bob. Jednak w wersji kwantowej odpowiedzi, które otrzymali Alice i Bob, nie istnieją, a zatem nikt ich nie zna. Gdyby ktoś je znał, te dwie odpowiedzi nie byłyby idealnie anty-skorelowane. To jest podstawa kwantowej dystrybucji kluczy jak to w zasadzie opisuje możliwość wykrycia obecności podsłuchującego.

Coś więcej, co może pomóc w próbach zrozumienia splątania: matematycznie nie różni się to od superpozycji, po prostu w pewnym momencie dzielisz nałożone części na dużą odległość, a fakt, że jest to w pewnym sensie trudne do zrobienia, oznacza rozdzielenie zapewnia zasoby, dzięki którym można robić ciekawe rzeczy. Naprawdę, splątanie jest zasobem tego, co można nazwać „rozproszoną superpozycją”.

Splątanie to kwantowe zjawisko fizyczne, wykazane w praktycznych eksperymentach, modelowane matematycznie w mechanice kwantowej. Możemy wymyślić kilka twórczych spekulacji na temat tego, co to jest (filozoficznie), ale pod koniec dnia musimy to zaakceptować i zaufać matematyce.

Ze statystycznego punktu widzenia możemy myśleć o tym jako o pełnej korelacji (1 lub -1) między dwiema zmiennymi losowymi (kubitami). Być może nie znamy wcześniej wyników tych zmiennych, ale gdy zmierzymy jedną z nich, ze względu na korelację, druga będzie przewidywalna. Niedawno napisałem artykuł o tym, w jaki sposób splątanie kwantowe jest obsługiwane przez symulator obliczeń kwantowych, który może być również pomocny.