Zaleta symulacji rzadkich hamiltonianów

W odpowiedzi @ DaftWullie na to pytanie pokazał, jak przedstawić w kategoriach bramek kwantowych matrycę zastosowaną jako przykład w tym artykule . Jednak uważam, że nie jest tak dobrze mieć dobrze ustrukturyzowane matryce w przykładach z życia, dlatego starałem się przyjrzeć innym metodom symulowania hamiltonianu. W kilku artykułach znalazłem odniesienie do tego artykułu autorstwa Aharonova i Ta-Shmy, w których między innymi stwierdzają oni, że można uzyskać przewagę w symulowaniu rzadkich hamiltonianów. Jednak po przeczytaniu artykułu nie zrozumiałem, jak można przeprowadzić symulację rzadkich hamiltonianów. Problem jest zwykle przedstawiany jako kolorowanie wykresów, ale również z uwzględnieniem prezentacji że @Nelimee zasugerował przeczytanie w celu zbadania potęgowania macierzy, wszystko to spada w dół po silmulacji dzięki formule produktu.

Na przykład weźmy losową macierz, taką jak:

nie jest to pustelnik, ale korzystając z sugestii Harrowa, Hassidima i Lloyda możemy zbudować macierz pustelniczą, zaczynając od niej:

$$A = \left[\begin{matrix} 2 & 0 & 0 & 0\\ 8 & 5 & 0 & 6\\ 0 & 0 & 7 & 0\\ 0 & 5 & 3 & 4 \end{matrix}\right];$$

$$C = \left[ \begin{matrix} 0 & A\\ A^{\dagger} & 0 \end{matrix} \right] = \left[\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 8 & 5 & 0 & 6\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 7 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 5 & 3 & 4\\ 2 & 8 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 5 & 0 & 5 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 7 & 3 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 0 & 4 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{matrix}\right].$$

Teraz, gdy mam macierz pustelniczą 8x8, 2-rzadką:

• Czy mogę symulować jego ewolucję na inne sposoby niż metoda formuły produktu?
• Nawet jeśli używam formuły produktu, jak mogę wykorzystać fakt, że jest on rzadki? Czy to tylko dlatego, że jest mniej niezerowych wpisów i dlatego powinno być łatwiej znaleźć produkt podstawowych bramek?

$H$$H_i$

$$H=\sum_{i=1}^mH_i.$$ $H_i$ $$e^{-iHt}=\prod_{j=1}^Ne^{-iH_m\delta t}e^{-iH_{m-1}\delta t}\ldots e^{-iH_{1}\delta t},$$ $t=N\delta t$ $$H_1=\frac14 X\otimes(18\mathbb{I}-6Z\otimes Z-4Z\otimes\mathbb{I}) \\ H_2=\frac14(X\otimes(11\mathbb{I}+5Z)\otimes X+Y\otimes(11\mathbb{I}+5Z)\otimes Y)\\ H_3=\frac14(11X\otimes X-Y\otimes Y)\otimes(\mathbb{I}-Z)$$ $(i,j)$$(k,l)$$k$$l$$i$$j$$m$$m$$H_i$

Problem polega na tym, że niekoniecznie działa to tak prosto w praktyce. Po pierwsze, wciąż istnieje wykładniczo wiele elementów macierzy, przez które trzeba przejść, ale zawsze tak będzie w przypadku sposobu konfiguracji.

$f(j,l)$$l^{th}$$j^{th}$

$\alpha_i$

$$H=\sum_i\alpha_iU_i$$ $H=U_1+\alpha U_2$$U_1$$U_2$$V=|0\rangle\langle 0|\otimes U_1+|1\rangle\langle 1|\otimes U_2$$|0\rangle+\sqrt{\alpha}|1\rangle$$V$$|0\rangle+\sqrt{\alpha}|1\rangle$$U_1+\alpha U_2$$(1-\alpha)^2/(1+\alpha)^2$