Co w kontroli PID reprezentują bieguny i zera?

11

Ilekroć czytam tekst o kontroli (np. Kontrola PID), często wspomina o „biegunach” i „zerach”. Co przez to rozumieją? Jaki stan fizyczny opisuje biegun lub zero?

Rocketmagnet
źródło
Ach, pamiętam, że nauczyliśmy się tych rzeczy pod kontrolą, ale zapomniałem o nich. Coś o tym, gdzie jakaś funkcja osiąga zero lub nieskończoność (zera i bieguny) oraz że były pewne krzywe zaczynające się od zer do biegunów w przestrzeni s (czy to po transformacji laplasu?) Czy coś w tym rodzaju. Pamiętam, że diagramy wyglądały pięknie, ale nic więcej nie pamiętam!
Shahbaz

Odpowiedzi:

8

Funkcja która opisuje, w jaki sposób dane wejściowe do systemu są odwzorowywane na dane wyjściowe systemu, nazywane są funkcją przesyłania.T(x)

W przypadku układów liniowych funkcję przenoszenia można zapisać jako gdzie N i D są wielomianami, tj. T ( x ) = N ( x )N(x)/D(x)ND

T(x)=N(x)D(x)

Zera systemu są wartościami spełniającymi wyrażenie N ( x ) = 0 . Innymi słowy, są one pierwiastkami wielomianu N ( x ) . Jak N ( x ) . zbliża się do zera, licznik funkcji przenoszenia (a zatem sama funkcja przenoszenia) zbliża się do wartości 0.xN(x)=0N(x)N(x)

Podobnie biegunami systemu są wartości które spełniają instrukcję D ( x ) = 0 . Innymi słowy, są one pierwiastkami wielomianu D ( x ) . Kiedy D ( x ) zbliża się do bieguna, mianownik funkcji przenoszenia zbliża się do zera, a wartość funkcji przenoszenia zbliża się do nieskończoności.xD(x)=0D(x)D(x)

Bieguny i zera pozwalają nam zrozumieć, jak system zareaguje na różne dane wejściowe. Zera są interesujące ze względu na ich zdolność do blokowania częstotliwości, podczas gdy bieguny dostarczają nam informacji o stabilności systemu. Zasadniczo wykreślamy bieguny i zera w płaszczyźnie zespolonej i mówimy, że system jest ograniczony wejściowo ograniczonym wyjściem (BIBO) stabilny, jeśli bieguny znajdują się w lewej połowie płaszczyzny zespolonej (LHP - lewa połowa płaszczyzny).

Wreszcie, kiedy projektujemy kontroler, w rzeczywistości manipulujemy jego biegunami i zerami, aby osiągnąć określone parametry projektowe.

DaemonMaker
źródło
1
Dzięki, ale nie czuję się wcale mądrzejszy. Czy potrafisz wyjaśnić, co oznaczają zera i bieguny w kontekście kontrolnym?
Rocketmagnet,
Dodałem trochę więcej na twoje zapytanie. Mam nadzieję że to pomogło.
DaemonMaker,
2
Myślę, że problemem tutaj @Rocketmagnet jest to, że jest to dość szeroki temat. Prawdopodobnie umieściłbym to w kategorii Jeśli możesz sobie wyobrazić całą książkę, która odpowiada na twoje pytanie, zadajesz zbyt wiele .
Mark Booth
Dla laika musisz także wyjaśnić, że dane wejściowe i wyjściowe znajdują się tutaj w domenie Laplace . Jak stwierdza Mark Booth, powodem, dla którego bieguny i zera mają znaczenie, jest złożona integracja konturu oraz fakt, że równania różniczkowe można przekształcić w równania algebraiczne w dziedzinie Laplace'a. Można uznać, że Polacy charakteryzują zarówno to, jak system oscyluje w czasie (tętnienie), jak i wykładniczo zanika lub rośnie w czasie. Ogólnie jednak należy nauczyć się intuicji i nie ma szybkiego i szybkiego fizycznego wyjaśnienia ...
daaxix
5

Te wielomianowe funkcje przenoszenia występują, gdy wykonujesz transformatę Laplace'a na pewnym liniowym równaniu różniczkowym, które albo faktycznie opisuje twojego robota, albo jest wynikiem linearyzacji dynamiki robota w pewnym pożądanym stanie. Pomyśl o tym jak o „ekspansji Taylora” wokół tego stanu.

Przekształcenie Laplace'a jest uogólnieniem przekształcenia Fouriera na funkcje, które nie są okresowe. W elektrotechnice transformata Laplace'a jest interpretowana jako reprezentacja systemu w dziedzinie częstotliwości , tzn. Opisuje, w jaki sposób system transmituje dowolne częstotliwości z sygnału wejściowego. Zero następnie opisują częstotliwości, które nie są przesyłane. Jak już wspomniano w DaemonMaker, bieguny są ważne, biorąc pod uwagę stabilność systemu: funkcja przenoszenia systemu przechodzi w nieskończoność w pobliżu biegunów.

Co oznaczają w kontekście kontroli:

Polacy : Mówią ci, czy system (który może być również nowym systemem, w którym wstawiłeś pętlę sprzężenia zwrotnego z prawem kontroli) jest stabilny, czy nie. Zwykle chcesz, aby system był stabilny. Zatem chcesz, aby wszystkie bieguny systemu znajdowały się w lewej połowie płaszczyzny (tzn. Rzeczywiste części biegunów muszą być mniejsze od zera). Bieguny są wartościami własnymi macierzy systemowej . To, jak daleko znajdują się na lewej półpłaszczyźnie, mówi o tym, jak szybko system zbliża się do stanu spoczynku. Im dalej znajdują się od osi urojonej, tym szybciej system się zbiega.

Zera : Mogą być wygodne, jeśli masz słup na prawej półpłaszczyźnie lub nadal na lewej półpłaszczyźnie, ale zbyt blisko osi wyobrażonej: Dzięki sprytnej modyfikacji systemu możesz przesunąć zera na niechciane bieguny, aby unicestwić im .

Daniel Eberts
źródło
Czy możesz dodać jakieś obrazy, aby to zilustrować?
Ian
Przepraszam za moją długą nieobecność. Ma wiele wspólnego z pracą naukową, którą obecnie muszę wykonać. W razie potrzeby mogę dodać jeden, gdy tylko będę miał na to czas.
Daniel Eberts
2
W przeciwieństwie do tego, co powiedziano, anulowanie bieguna / zera nigdy nie jest wykonywane, gdy biegun kontrolowanej instalacji leży w RHP. Powodem jest to, że nawet bardzo niewielka różnica między biegunem a zerem dodana do anihilacji zostanie wzmocniona i spowoduje rozbieżność reakcji systemu. Pamiętaj: nigdy !
Ugo Pattacini
0

Naprawdę nie mogę mówić o zerach funkcji przesyłania, ale bieguny funkcji przenoszenia zdecydowanie mają sensowną interpretację.

Aby zrozumieć tę interpretację, musisz pamiętać, że system, który chcemy kontrolować, jest tak naprawdę jedną z dwóch rzeczy: albo różnicą równania lub różnicowe równanie. W obu przypadkach powszechnym podejściem do rozwiązywania tych równań jest określenie ich wartości własnych. Co ważniejsze, gdy układ jest liniowy, wartości własne równania różniczkowego / różnicy odpowiadają dokładnie biegunom funkcji przenoszenia. Tak więc, uzyskując bieguny, naprawdę uzyskujesz wartości własne pierwotnego równania. To właśnie wartości własne pierwotnego równania (moim zdaniem) naprawdę determinują stabilność układu; to po prostu niesamowity zbieg okoliczności, że bieguny układu liniowego są dokładnie wartościami własnymi pierwotnego równania.

Aby to zilustrować, rozważ dwa przypadki osobno:

Przypadek 1: Równanie różniczkowe

x(t)=domiλtλ x(t)0tRmi(λ)<0. W przeciwnym razie jeśliRmi(λ)0, ilość miλt najprawdopodobniej wybuchłby do nieskończoności wielkości lub po prostu nie zbliżyłby się do zera.

Przypadek 2: Równanie różnicy

Gdy wszystkie wartości własne równania różnicowego są mniejsze niż 1, wówczas wszystkie trajektorie (tj. Wszystkie rozwiązania) zbliżają się do rozwiązania równowagi na początku (x = 0). Jest tak, ponieważ roztwory różnicy równania są zazwyczaj w formie wykładniczej sekwencji podobnegoxt=doλt, gdzie λjest wartością własną. Zatem sekwencja xt0 tak jak t tylko, jeżeli |λ|<1. W przeciwnym razie jeśli|λ|1, ilość λt wybuchłaby do nieskończoności w skali lub po prostu nie zbiegła się do zera.

W obu przypadkach bieguny funkcji systemu i wartości własne (jednorodnego) równania różniczkowego / różnicy są dokładnie takie same! Moim zdaniem bardziej sensowne jest dla mnie interpretowanie biegunów jako wartości własnych, ponieważ wartości własne wyjaśniają warunek stabilności w bardziej naturalny sposób.

Paweł
źródło