Numeryczne metody odwracania transformat całkowych?

Dość prostą metodą byłoby wybranie podstawy w przestrzeni funkcji i przekształcenie transformacji całkowej w macierz. Następnie możesz po prostu odwrócić macierz.

Matematycznie oto, jak to działa: potrzebujesz zestawu ortonormalnych funkcji bazowych . (Można uciec bez nich są znormalizowane też, ale łatwiej jest wytłumaczyć w ten sposób.) Oznacza, że produkt ortonormalne wewnętrzna , gdzie $T_i(x)$ $\langle T_i,T_j\rangle = \delta_{ij}$

\begin{matrix} (1) & ⟨ T_{i}, T_{j} ⟩ \equiv \int_{a}^{b} W (x) T_{i} (x) T_{j} (x) d x = δ_{i j} \end{matrix}

$\langle T_i,T_j\rangle \equiv \int_a^b W(x) T_i(x)T_j(x)\,\mathrm{d}x = \delta_{ij}\tag{1}$

Tutaj jest jakąś funkcją wagi. To i limity i są przywiązane do wyboru . Po wybraniu zestawu podstawowych funkcji, które chcesz użyć, możesz na stałe zakodować ograniczenia i funkcję wagi w swoim programie. $W(x)$ $a$ $b$ $T_i$

Korzystając z ortonormalności, możesz wyrazić dowolną funkcję, taką jak i , jako liniowe kombinacje tych funkcji podstawowych: $f(x)$ $F(y)$

\begin{aligned} (2) & f (x) & = \sum_{i} c_{i} T_{i} (x) & F (y) & = \sum_{j} C_{j} T_{j} (y) \end{aligned}

$\begin{align} f(x) &= \sum_{i} c_i T_i(x) & F(y) &= \sum_{j} C_j T_j(y) \tag{2} \end{align}$

gdzie współczynniki są obliczane jako

\begin{aligned} (3) & c_{i} & = ⟨ f, T_{i} ⟩ = \int_{a}^{b} W (x) f (x) T_{i} (x) d x \\ (4) & C_{j} & = ⟨ F, T_{j} ⟩ = \int_{a}^{b} W (y) F (y) T_{j} (y) d y \end{aligned}

$\begin{align} c_i &= \langle f,T_i\rangle = \int_a^b W(x) f(x)T_i(x)\,\mathrm{d}x \tag{3}\\ C_j &= \langle F,T_j\rangle = \int_a^b W(y) F(y)T_j(y)\,\mathrm{d}y \tag{4} \end{align}$

Możesz sprawdzić, czy te wyrażenia są zgodne z definicjami współczynników, np. (2) i ortonormalność, równ. (1).

Teraz obliczyć transformację każdej z funkcji podstawowych; nazwijmy to . $\tilde{T}_i(y)$

{\tilde{T}}_{i} (y) \equiv \int_{0}^{\infty} y \exp [- \frac{1}{2} (y^{2} + x^{2})] I_{0} (x y) T_{i} (x) d x

$\tilde{T}_i(y) \equiv \int_0^\infty y \exp\biggl[-\frac{1}{2}(y^2 + x^2)\biggr]I_0(xy)T_i(x)\,\mathrm{d}x$

jest funkcją, więc możesz wyrazić ją jako liniową kombinację funkcji podstawowych, tak jak to zrobiliśmy zi: $\tilde{T}_i(y)$ $f(x)$ $F(y)$

{\tilde{T}}_{i} (y) = \sum_{k} A_{i k} T_{k} (y)

$\tilde{T}_i(y) = \sum_k A_{ik}T_k(y)$

gdzie elementy macierzy są określane w ten sam sposób okazało a powyżej: $A_{ik}$ $c_i$ $C_j$

\begin{matrix} (5) & A_{i k} = ⟨ {\tilde{T}}_{i}, T_{k} ⟩ = \int_{a}^{b} W (y) {\tilde{T}}_{i} (y) T_{k} (y) d y \end{matrix}

$A_{ik} = \langle \tilde{T}_i, T_k\rangle = \int_a^b W(y) \tilde{T}_i(y)T_k(y)\,\mathrm{d}y\tag{5}$

W praktyce jest to dość obrzydliwa podwójna całka, ale musisz to zrobić tylko raz (zawsze) dla każdej kombinacji i . Możesz wykonać całki numerycznie, a następnie na stałe zapisać wynikowe wartości w swoim programie. (Uwaga dodatkowa: Mądry wybór i może sprawić, że całka może być wykonana symbolicznie. To, czy jest to możliwe, zależy od transformacji. Możesz to zrobić za pomocą Transformacja Fouriera, ale jestem skłonny sądzić, że transformacja, o którą tutaj pytasz, nie jest możliwa.) $i$ $k$ $T_i(x)$ $W(x)$

Jeśli chodzi o elementy macierzy oraz współczynniki i , relacja między i sprowadza się do układu liniowego $A_{ik}$ $c_i$ $C_j$ $f(x)$ $F(y)$

\begin{aligned} \overset{F (y)}{\overset{⏞}{\sum_{j} C_{j} T_{j} (y)}} & = \int_{0}^{\infty} y \exp [- \frac{1}{2} (y^{2} + x^{2})] I_{0} (x y) \overset{f (x)}{\overset{⏞}{\sum_{i} c_{i} T_{i} (x)}} d x \\ = \sum_{i} c_{i} \int_{0}^{\infty} y \exp [- \frac{1}{2} (y^{2} + x^{2})] I_{0} (x y) T_{i} (x) d x \\ = \sum_{i} c_{i} \sum_{k} A_{i k} T_{k} (y) \end{aligned}

$\begin{align} \overbrace{\sum_{j} C_j T_j(y)}^{F(y)} &= \int_0^\infty y \exp\biggl[-\frac{1}{2}(y^2 + x^2)\biggr]I_0(xy)\overbrace{\sum_{i} c_i T_i(x)}^{f(x)}\,\mathrm{d}x\\ &= \sum_{i} c_i \int_0^\infty y \exp\biggl[-\frac{1}{2}(y^2 + x^2)\biggr]I_0(xy)T_i(x)\,\mathrm{d}x\\ &= \sum_{i} c_i \sum_{k} A_{ik}T_k(y) \end{align}$

Biorąc pod uwagę ortogonalność funkcji bazowych, można wyodrębnić dowolny konkretny współczynnik , przyjmując iloczyn wewnętrzny obu stron za pomocą : $C_{\ell}$ $T_{\ell}$

\begin{aligned} ⟨ (\sum_{j} C_{j} T_{j}), T_{ℓ} ⟩ & = ⟨ (\sum_{i} c_{i} \sum_{k} A_{i k} T_{k}), T_{ℓ} ⟩ \\ \int_{a}^{b} W (y) \sum_{j} C_{j} T_{j} (y) T_{ℓ} (y) d y & = \int_{a}^{b} W (y) \sum_{i} c_{i} \sum_{j} A_{i k} T_{k} (y) T_{ℓ} (y) d y \\ \sum_{j} C_{j} \int_{a}^{b} W (y) T_{j} (y) T_{ℓ} (y) d y & = \sum_{i} c_{i} \sum_{k} A_{i k} \int_{a}^{b} W (y) T_{k} (y) T_{ℓ} (y) d y \\ \sum_{j} C_{j} δ_{j ℓ} & = \sum_{i} c_{i} \sum_{k} A_{i k} δ_{k ℓ} \\ C_{ℓ} & = \sum_{i} c_{i} A_{i ℓ} \end{aligned}

$\begin{align} \left\langle \biggl(\sum_{j} C_j T_j\biggr), T_\ell\right\rangle &= \left\langle \biggl(\sum_{i} c_i \sum_{k} A_{ik}T_k\biggr), T_\ell\right\rangle \\ \int_a^b W(y) \sum_{j} C_j T_j(y)T_\ell(y)\,\mathrm{d}y &= \int_a^b W(y) \sum_{i} c_i \sum_{j} A_{ik}T_k(y)T_\ell(y)\,\mathrm{d}y \\ \sum_{j} C_j \int_a^b W(y) T_j(y)T_\ell(y)\,\mathrm{d}y &= \sum_{i} c_i \sum_{k} A_{ik}\int_a^b W(y) T_k(y)T_\ell(y)\,\mathrm{d}y \\ \sum_{j} C_j \delta_{j\ell} &= \sum_{i} c_i \sum_{k} A_{ik}\delta_{k\ell} \\ C_\ell &= \sum_{i} c_i A_{i\ell} \end{align}$

Oczywiście to tylko fikcyjny indeks, więc wrócę do nazywania go . $\ell$ $C_j$

To tylko problem algebry liniowej. jest składową wektora, jak to jest i są składnikami matrycy. Możesz obliczyć na podstawie funkcji, którą próbujesz przekształcić za pomocą eq. (3), a znasz z jednorazowego obliczenia wykonanego dla tej konkretnej transformacji całkowej, równ. (5), aby uzyskać , wykonując mnożenie macierzy (w których komputery są bardzo dobre), a następnie zrekonstruuj funkcję z tych, które używają eq. (2). $C_j$ $c_i$ $A_{ij}$ $c_i$ $A_{ij}$ $C_j$ $F(y)$

I odwrotnie, aby wykonać odwrotną transformację, zaczynasz od funkcji , oblicz z niej za pomocą eq. (4), a następnie musisz rozwiązać układ liniowy $F(y)$ $C_j$

C_{j} = \sum_{i} c_{i} A_{i j}

$C_j = \sum_{i} c_i A_{ij}$

Można tego dokonać mnożąc obie strony przez odwrotność macierzy , ale w praktyce istnieją bardziej wydajne sposoby na to. Użyj solvera systemu liniowego dowolnej biblioteki algebry liniowej, którą masz pod ręką. $A$

$i$ $j$ $1$ $N$ $N$ $f(x)$ $T_1(x),\ldots,T_N(x)$ $1$ $M$ $F(y)$ $T_1(y),\ldots,T_M(y)$ $M = N$ $M$ $N$ $N$ $c_i$ $A$ $M\times N$ $A_{11}$ $A_{NM}$

$[-1,1]$ $T_i$ $W(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$ $a = -1$ $b = 1$ $\langle T_i, T_j\rangle = \delta_{ij}\pi/2$ $i = j\neq 0$ $\langle T_0, T_0\rangle = \pi$

David Z
źródło

Numeryczne metody odwracania transformat całkowych?

Odpowiedzi: