Czy odwrotność jest również prawdą? Czy źle uwarunkowana matryca ma prawie zerową determinantę?
Oto coś, czego próbowałem w Octave:
a = rand(4,4);
det(a) %0.008
cond(a)%125
a(:,4) = 1*a(:,1) + 2*a(:,2) = 0.000000001*ones(4,1);
det(a)%1.8E-11
cond(a)%3.46E10
linear-algebra
condition-number
Śledztwo
źródło
źródło
Odpowiedzi:
To wielkość numeru warunku mierzy bliskość osobliwości, a nie delikatność wyznacznika.κ(A)
Na przykład macierz diagonalna ma małą determinantę, ale jest dobrze uwarunkowana.10−50I
Z drugiej strony rozważ następującą rodzinę kwadratowych górnych trójkątnych matryc, ze względu na Aleksandra Ostrowskiego (i również studiowanego przez Jima Wilkinsona):
Wyznacznik macierzy macierzy wynosi zawsze , ale stosunek największej do najmniejszej liczby pojedynczej (tj. 2- numer warunku ) Ostrowski wykazał, że jest równy , co można zaobserwować, że rośnie wraz ze wzrostem .n×n U 1 κ2(U)=σ1σn cot2π4n n
źródło
Ponieważ , wyznacznik może być dowolnie duży lub mały przez proste przeskalowanie (co nie zmienia liczby warunków). Zwłaszcza w dużych wymiarach nawet skalowanie niewinnym współczynnikiem 2 zmienia determinantę w ogromnym stopniu.det(kA)=kndetA
Dlatego nigdy nie używaj wyznacznika do oceny stanu lub bliskości osobliwości.
Z drugiej strony, w przypadku prawie wszystkich dobrze postawionych problemów numerycznych, warunek ten jest ściśle związany z odległością do osobliwości, w sensie najmniejszej perturbacji względnej potrzebnej do złagodzenia problemu. Dotyczy to w szczególności systemów liniowych.
źródło