Czy drobna wyznacznik implikuje złe warunkowanie matrycy?

29

det(A)0

Czy odwrotność jest również prawdą? Czy źle uwarunkowana matryca ma prawie zerową determinantę?

Oto coś, czego próbowałem w Octave:

a = rand(4,4);
det(a) %0.008
cond(a)%125
a(:,4) = 1*a(:,1) + 2*a(:,2) = 0.000000001*ones(4,1);
det(a)%1.8E-11
cond(a)%3.46E10
Śledztwo
źródło
1
Wyznacznik pokazuje, czy macierz jest regularna czy pojedyncza. Nie pokazuje, czy jest dobrze, czy źle uwarunkowany.
Allan P. Engsig-Karup
5
Wielkość wyznacznika nie może odzwierciedlać złego uwarunkowania: ale . κ(A)=κ(A1)det(A1)=(detA)1
faleichik
Czy powinno być gdzieś lub ?
Zapytanie
3
Jeśli chcesz dowiedzieć się więcej o wpływie matematyki zmiennoprzecinkowej na widma macierzowe, zapoznaj się z książką Nicka Trefethena: Spectra and Pseudospectra: The Behavior of Nonnormal Matrices and Operators and the Pseudospectra Gateway .
Aron Ahmadia

Odpowiedzi:

38

To wielkość numeru warunku mierzy bliskość osobliwości, a nie delikatność wyznacznika.κ(A)

Na przykład macierz diagonalna ma małą determinantę, ale jest dobrze uwarunkowana.1050I

Z drugiej strony rozważ następującą rodzinę kwadratowych górnych trójkątnych matryc, ze względu na Aleksandra Ostrowskiego (i również studiowanego przez Jima Wilkinsona):

U=(122121)

Wyznacznik macierzy macierzy wynosi zawsze , ale stosunek największej do najmniejszej liczby pojedynczej (tj. 2- numer warunku ) Ostrowski wykazał, że jest równy , co można zaobserwować, że rośnie wraz ze wzrostem .n×nU1κ2(U)=σ1σncot2π4nn

JM
źródło
1
@Nunoxic: na pewno nie; zanim przejdę do szczegółów, czy znasz już rozkład pojedynczej wartości?
JM
2
Bardzo dobrze. To wszystko, co musisz wiedzieć. Chodzi o to, że bardzo ważna informacja na temat warunkowania jest skoncentrowana w . W szczególności będziesz chciał poszukać największych i najmniejszych wartości (pamiętaj, że rozkład jest zdefiniowany w taki sposób, że wpisy ukośne są nieujemne) na przekątnej tej matrycy. Stosunek największego do najmniejszego wpisu po przekątnej jest liczbą warunkową . Jaki rozmiar numeru warunku, na który powinieneś zwrócić uwagę, zależy od maszyny, nad którą pracujesz ...ΣΣκ
JM
2
... ale w ogóle, podczas rozwiązywania równań liniowych z tej matrycy, możesz stracić Base- cyfr rozwiązania. To z grubsza ogólna zasada dla numeru warunku; więc jeśli pracujesz tylko 16 cyfr, z powinno być powodem do niepokoju. logbκbκ1013
JM
1
Tak, ale nie jest to zalecana metoda określania numeru warunku (którego wyjaśnienie dotyczy innego pytania). Zakładam, że wiesz, jak odwrócić macierz diagonalną, nie?
JM
2
„Regd. Utrata cyfr, czy mógłbyś mi to podać?” - Mógłbym, ale to naprawdę jedna z tych rzeczy, które powinieneś eksperymentować samodzielnie w środowisku komputerowym w celu wzmocnienia.
JM
17

Ponieważ , wyznacznik może być dowolnie duży lub mały przez proste przeskalowanie (co nie zmienia liczby warunków). Zwłaszcza w dużych wymiarach nawet skalowanie niewinnym współczynnikiem 2 zmienia determinantę w ogromnym stopniu.det(kA)=kndetA

Dlatego nigdy nie używaj wyznacznika do oceny stanu lub bliskości osobliwości.

Z drugiej strony, w przypadku prawie wszystkich dobrze postawionych problemów numerycznych, warunek ten jest ściśle związany z odległością do osobliwości, w sensie najmniejszej perturbacji względnej potrzebnej do złagodzenia problemu. Dotyczy to w szczególności systemów liniowych.

Arnold Neumaier
źródło