Struktura rang w uzupełnieniu Schura

Robię badania struktury w uzupełnieniach Schura i znajduję ciekawe zjawisko:

Załóżmy, że A jest od 5 - pkt laplacian. Jeśli użyję zagnieżdżonej kolejności rozbiorów i metody wielopłaszczyznowej do obliczenia faktoryzacji LU, a następnie sprawdzę ostatni blok dopełniacza Schur, ma on niską rangę dla bloków nie przekątnych.

Ale kiedy używam tej samej metody do faktoryzacji $A - \lambda I$ , gdzie $\lambda$ jest pewną wartością dodatnią w pobliżu wartości własnych A, to ostatni dopełnienie Schur nie ma właściwości niskiej rangi.

Nie wiem, czy nieokreślony zmieni strukturę w dopełnieniu Schur, czy nie. Czy ktoś może podać jakieś odniesienia do tego tematu?

linear-algebra Willowbrook
źródło

Odpowiedzi:

Witamy w cudownym świecie równań Helmholtza. Zastąpić $\lambda \ge 0$ z $\omega^2$ i opisujesz faktoryzację równania Helmholtza. Być może zainteresuje Cię ten artykuł , który obejmuje dokładnie ten problem. Jest też miły artykuł przeglądowy, który wyjaśnia, dlaczego równania Helmholtza są trudne.

Jack Poulson
źródło

W pracy Yinga pokazał, że w przypadku problemu 2D dopełniacz Schur powinien mieć właściwość niskiej rangi. Twierdzi tylko, że w przypadku problemu 3D właściwość niskiej rangi nie jest znacząca. Mój problem to problem 2D, ale nie ma niskiej rangi.

Willowbrook,

@Willowbrook: Myślę, że powinieneś bardziej uważnie przeczytać. Argumentowano, że właściwość niskiej rangi utrzymuje się tylko dla 1d podproblemów problemu 2D i tylko w przypadku, gdy stosuje się absorbujący warunek brzegowy. Jeśli wprowadzisz jedną do swojego sformułowania, myślę, że twoje poziome przekroje znacznie się zmniejszą, choć powinny nadal znacznie rosnąć wraz z rozmiarem problemu.

Jack Poulson