Zastosowania map szeregów mocy

16

Jestem z dziedziny fizyki akceleratora, szczególnie związanej z okrągłymi pierścieniami magazynowymidla synchrotronowych źródeł światła. Elektrony o wysokiej energii krążą wokół pierścienia, kierowane przez pola magnetyczne. Elektrony krążą miliardy razy i chce się przewidzieć stabilność. Można opisać ruch elektronów w jednym punkcie pierścienia w kategoriach przestrzeni fazowej (pozycja, przestrzeń pędu). Z każdym obrotem wokół pierścienia cząstka wraca do nowej pozycji i pędu, a to definiuje mapę w przestrzeni fazowej zwaną „mapą jednego obrotu”. Możemy założyć, że punkt początkowy ma ustalony punkt, więc można go rozszerzyć w szeregu potęg. Dlatego chcemy wiedzieć o stabilności iterowanych map szeregów mocy. Istnieje wiele trudnych pytań na ten temat, a temat ma długą historię. Zaimplementowano wiele bibliotek - w celu zaimplementowania tak zwanej Algebry Serii Obciętych. (Patrz npten artykuł o zlib autorstwa Y. Yana. Więcej podstaw fizyki i jedno podejście do analizy to podejście do postaci normalnej, np. Bazzani i in. glin. tutaj .) Pytanie brzmi, jak korzystać z takiej biblioteki i jak rozwiązać problem stabilności. Głównym podejściem zastosowanym w dynamice wiązki była normalna analiza kształtu, co nie wydaje się skuteczne. Ciekawe, czy jakiś metod spektralnych zostały opracowane w innych dziedzinach (być może na wzór czegoś jak ten?). Czy ktoś może pomyśleć o innej dziedzinie, w której analizowana jest długoterminowa stabilność iterowanych map szeregów mocy ze stałym punktem na początku, abyśmy mogli dzielić się wiedzą lub zdobywać nowe pomysły? Jednym z przykładów, jaki znam, jest praca Fishmana i „Tryby akceleratora” w fizyce atomowej. Czy są jeszcze inni? Jakie inne systemy można modelować jako kopnięty rotor lub mapę Henona?

algorithms polynomials Boaz
źródło
2
Myślę, że warto nieco rozwinąć terminologię. Na przykład, znam wszystkie matematyczne pojęcia, o których wspomniałeś, ale nie jestem w stanie w pełni wyobrazić sobie, co masz na myśli w tym kontekście przez „mapę przestrzeni fazowej”. Jestem pewien, że w twojej dziedzinie nie wymaga to wyjaśnienia, ale ludzie z innych specjalizacji mogą zdać sobie sprawę, że wiedzą, jak ci pomóc, jeśli zrobisz trochę więcej wyjaśniając, co masz na myśli.
Colin K
1
To właściwie dobra uwaga: ponieważ przypuszczalnie ta strona zgromadzi ludzi z wielu różnych dyscyplin naukowych, szczególnie ważne będzie zdefiniowanie terminów specyficznych dla danej dziedziny (lub przynajmniej link do wyjaśnień).
David Z
Zgoda, Collin i David. Dziękuję za komentarze. Przestrzeń fazowa to przestrzeń pozycja-pęd. Pomyśl o jednej pozycji w pierścieniu, a elektron ma pozycję poprzeczną i pęd (prędkość). Kiedy raz okrąży pierścień, uzyska nową pozycję i prędkość. Nazywa się to mapą jednego obrotu. Gdyby był liniowy, byłby jak oscylator harmoniczny, który wykrywa elipsę w przestrzeni fazowej. W przypadku, gdy jego okólnik, mapa miałaby postać x_1 = cos (theta) x_0 + sin (theta) p_0 i p_1 = -sin (theta) x_0 + cos (theta) p_0. Czy to wyjaśnia?
Boaz
Dodałem kilka odniesień do literatury z zakresu fizyki i obliczeń wiązki oraz dodałem krótką definicję przestrzeni fazowej.
Boaz
Nawiasem mówiąc, zadałem podobne pytanie na Stack Exchange, Mathematics, tutaj . Tam pytałem o rozwiązania kwestii stabilności z matematycznego punktu widzenia. Zastanawiałem się tutaj, czy ten sam problem istnieje w innych przedmiotach naukowych, ponieważ wydaje się nieco ogólny, ale nie został powiązany z dużą dynamiką wiązki. Jednym z obszarów, o których wiem, są tryby akceleratora w fizyce atomowej. Czy są jeszcze inni?
Boaz

Odpowiedzi:

4

Prawdopodobnie już to wiesz, ale to brzmi jak coś ze świata teorii chaosu i fraktali? (stąd jest obliczeniowo „trudny”)

Na twoje pytanie, czy spojrzałeś na świat mechaniki planetarnej i problemy z ciałami N? Są one również zmuszone do stosowania rozwiązań iteracyjnych, a podstawową fizyką leżącą u podstaw jest N ^ 2, chociaż źródła siły zwykle również mogą się poruszać - tylko w celu dalszego skomplikowania rzeczy.

Dawno nie patrzyłem na nie, ale twoja wzmianka o mapach fazowych stabilności brzmi bardzo podobnie do Henon Maps. Jestem pewien, że muszą one mieć szersze zastosowania, ale zwykle są one opisywane w kategoriach stabilności planet (np. Stabilności drugiego księżyca w układzie planet-księżyc).

winwaed
źródło
Tak, mapa Henona jest dokładnie tym, co mamy w dynamice wiązki akceleratora. Problem z analogią do problemu N-ciała polega na tym, że przestrzeń jest tam znacznie większa. „Przestrzeń fazowa” ma wymiar 6xN, podczas gdy dla pojedynczej cząstki w pierścieniu przechowującym jest ona w ogólnym przypadku tylko 6-wymiarowa. Jestem ciekawy, jakie inne domeny kończą z czymś w rodzaju mapy Henona do modelowania dynamiki. Na szlaku teorii chaosu zastanawiałem się również nad teorią dynamiki populacji. Dziękuję za odpowiedź.
Boaz
4

Możesz spojrzeć na asymptotyczne zachowanie dyskretne układów dynamicznych . Istnieje zarówno bogata literatura teoretyczna na ten temat w matematyce, jak i literatura bardziej stosowana w fizyce i informatyce.

MRocklin
źródło
Dzięki Mrocklin. Spojrzałem trochę na literaturę ogólną i nie znalazłem rozwiązania, a może było to zbyt matematyczne i nie znalazłem tego samego problemu w sposób, który mógłbym zrozumieć.
Boaz
Oto kilka pytań z tego pola: (1) Czy tworzysz orbity - tj. Po kilku iteracjach wracasz w to samo miejsce? (2) Czy twój system jest wrażliwy na małe zakłócenia - tj. Jeśli zaczniemy stan nieco od stanu początkowego, czy skończy się w zupełnie innym miejscu? (3) Czy niektóre perturbacje działają dziko, podczas gdy inne są oswojone? Udzielenie odpowiedzi na tego rodzaju pytania może dać wgląd w właściwości twojego fizycznego systemu.
MRocklin
(1) W pobliżu źródła dynamika jest stabilna i tworzy zamknięte orbity. Idąc dalej, czasami można znaleźć inne wyspy stabilności. A nawet dalej, dynamika jest niestabilna, tj. Nieograniczona. (2) Niektóre aspekty są wrażliwe, a niektóre nie. Stabilne orbity nie są tak wrażliwe na jakiekolwiek zakłócenia. (3) Zaburzenia zwykle działają okresowo z pewną częstotliwością. Niektóre częstotliwości powodują rezonanse, które mogą radykalnie zmienić dynamikę nawet przy niewielkich zakłóceniach. Ale wiedza z góry, które częstotliwości są niebezpieczne, nie jest dobrze rozumiana.
Boaz
1

Przydatne może być przyjrzenie się metodom modelu Taylora; to wydaje się być miłym Omówienie artykułu. Spróbuj, jeśli CIESZA nieskończoność może robić, co chcesz.

Erik P.
źródło
Dzięki Erik. Tak, jestem trochę obeznany z COSY infinity. Artykuł, do którego linkujesz, wydaje się przydatny w przeglądzie metod używania szeregów mocy do obliczania różnych funkcji i znajdowania granic błędów itp. Moje pytanie dotyczy jednak tego, jakie układy (oprócz okrągłych pierścieni pamięci) można modelować za pomocą szeregów mocy i jak rozwiązuje się region stabilności. Nie sądzę, żeby na przykład mogły to zrobić zwykłe metody formularza. To był wpływowy temat w dynamice wiązki, ale nie sądzę, że rozwiązał problem.
Boaz