tło
Rozwiązuję wariant równania Ornsteina-Zernike z teorii płynów. Abstrakcyjnie problem można przedstawić jako rozwiązanie problemu punktu stałego , gdzie A jest operatorem alegbraicznym integro, a c ( r ) jest funkcją rozwiązania (funkcja korelacji bezpośredniej OZ). Rozwiązuję za pomocą iteracji Picarda, w której zapewniam wstępne rozwiązanie próbne c 0 ( r ) i generuję nowe rozwiązania próbne według schematu c j + 1 = α ( gdzie α jest regulowanym parametrem, który kontroluje mieszankę c i A c stosowaną w następnym roztworze próbnym. W tej dyskusji załóżmy, że wartość α jest nieistotna. Powtarzam, aż iteracja zbiega się w pożądanej tolerancji, ϵ : Δ j + 1 ≡ ∫ d → r | c j + 1 ( r ) - c
W przypadku szerokiego zakresu wartości dla powyższy schemat iteracji zbiega się wykładniczo szybko. Jednak, gdy zmniejszam λ , w końcu dochodzę do reżimu, w którym konwergencja nie jest monotoniczna, jak pokazano poniżej.
Kluczowe pytania
Czy w iteracyjnych rozwiązaniach problemów ze stałymi punktami konwergencja niemonotoniczna ma jakieś szczególne znaczenie? Czy to oznacza, że mój plan iteracji jest na granicy niestabilności? Co najważniejsze , czy konwergencja niemonotoniczna powinna mnie podejrzewać, że rozwiązanie „konwergentne” nie jest dobrym rozwiązaniem problemu punktu stałego?
źródło