Konwergencja niemonotoniczna w problemie punktu stałego

13

tło

Rozwiązuję wariant równania Ornsteina-Zernike z teorii płynów. Abstrakcyjnie problem można przedstawić jako rozwiązanie problemu punktu stałego , gdzie A jest operatorem alegbraicznym integro, a c ( r ) jest funkcją rozwiązania (funkcja korelacji bezpośredniej OZ). Rozwiązuję za pomocą iteracji Picarda, w której zapewniam wstępne rozwiązanie próbne c 0 ( r ) i generuję nowe rozwiązania próbne według schematu c j + 1 = α (Ac(r)=c(r)Ac(r)c0(r) gdzie α jest regulowanym parametrem, który kontroluje mieszankę c i A c stosowaną w następnym roztworze próbnym. W tej dyskusji załóżmy, że wartość α jest nieistotna. Powtarzam, aż iteracja zbiega się w pożądanej tolerancji, ϵ : Δ j + 1 d r | c j + 1 ( r ) - c

cj+1=α(Acj)+(1α)cj ,
αcAcαϵ W moim wariancie problemu A zależy od parametru λ , a moje pytanie dotyczy tego, w jaki sposób zbieżność A c = c zależy od tego parametru.
Δj+1dr|cj+1(r)cj(r)|<ϵ .
AλAc=c

W przypadku szerokiego zakresu wartości dla powyższy schemat iteracji zbiega się wykładniczo szybko. Jednak, gdy zmniejszam λ , w końcu dochodzę do reżimu, w którym konwergencja nie jest monotoniczna, jak pokazano poniżej. λλpoczątek konwergencji niemonotonicznej

Kluczowe pytania

Czy w iteracyjnych rozwiązaniach problemów ze stałymi punktami konwergencja niemonotoniczna ma jakieś szczególne znaczenie? Czy to oznacza, że ​​mój plan iteracji jest na granicy niestabilności? Co najważniejsze , czy konwergencja niemonotoniczna powinna mnie podejrzewać, że rozwiązanie „konwergentne” nie jest dobrym rozwiązaniem problemu punktu stałego?

Endulum
źródło

Odpowiedzi:

1

xx=f(x)xfx(x)αα<1x

  1. λ

  2. Jeśli twoje rozwiązanie zbiegło się w ramach właściwie ustalonej tolerancji względnej, która uwzględnia także małe liczby, to tak jest.

NameRakes
źródło
Czy możesz wyjaśnić swój drugi punkt?
Endulum
|xj+1xj||xj|ϵϵ