Dlaczego mój iteracyjny liniowy solver nie jest zbieżny?

Co może pójść nie tak, gdy zastosuje się wstępne metody Kryłowa z KSP ( pakiet solvera liniowego PETSc ) do rozwiązania rzadkiego układu liniowego, takiego jak te uzyskane przez dyskretyzację i linearyzację równań różniczkowych cząstkowych?

Jakie kroki mogę podjąć, aby ustalić, co jest nie tak z moim problemem?

Jakie zmiany mogę wprowadzić, aby skutecznie i skutecznie rozwiązać mój system liniowy?

Wstępna porada

• Zawsze -ksp_converged_reason -ksp_monitor_true_residualstaraj się dowiedzieć, dlaczego metoda nie jest zbieżna.
• Zmniejsz rozmiar problemu i liczbę procesów do jak najmniejszych, aby zademonstrować awarię. Często uzyskujesz wgląd, określając, jakie drobne problemy wykazują zachowanie, które powoduje awarię metody i skraca czas zawracania. Ponadto istnieją pewne techniki dochodzenia, które można zastosować tylko w przypadku małych systemów.
• Jeśli problem pojawia się dopiero po wielu krokach czasowych, krokach kontynuacji lub krokach rozwiązywania nieliniowego, rozważ zapisanie stanu modelu, gdy wystąpi awaria, abyś mógł szybko eksperymentować.
• Alternatywnie, szczególnie jeśli twoje oprogramowanie nie ma możliwości punktu kontrolnego, użyj -ksp_view_binarylub MatView()zapisz system liniowy, a następnie użyj kodu at, $PETSC_DIR/src/ksp/ksp/examples/tutorials/ex10.caby odczytać matrycę i rozwiązać ją (być może przy innej liczbie procesów). Wymaga to złożonej matrycy, więc jej użyteczność może być nieco ograniczona.
• Istnieje wiele możliwych wyborów solvera (np. Nieskończona liczba dostępna w linii poleceń w PETSc ze względu na dowolną liczbę poziomów składu), zobacz to pytanie, aby uzyskać ogólne porady dotyczące wybierania solwerów liniowych.

Typowe przyczyny braku konwergencji KSP

• Równania są przypadkowe osobliwe (np. Zapomniałem narzucić warunki brzegowe). Sprawdź to pod kątem małego problemu przy użyciu -pc_type svd -pc_svd_monitor. Wypróbuj również bezpośredni solver z -pc_type lu(za pośrednictwem pakietu innej firmy równolegle, np -pc_type lu -pc_factor_mat_solver_package superlu_dist.).
• Równania są celowo pojedyncze (np. Stała pusta przestrzeń), ale metoda Kryłowa nie została poinformowana, patrz KSPSetNullSpace().
• Równania są celowo pojedyncze i KSPSetNullSpace()zostały użyte, ale prawa strona nie jest spójna. Być może będziesz musiał zadzwonić MatNullSpaceRemove()po prawej stronie, zanim zadzwonisz KSPSolve().
• Równania są nieokreślone, więc standardowe warunki wstępne nie działają. Zazwyczaj znasz to z fizyki, ale możesz to sprawdzić za pomocą -ksp_compute_eigenvalues -ksp_gmres_restart 1000 -pc_type none. W przypadku prostych problemów z siodłem spróbuj -pc_type fieldsplit -pc_fieldsplit_type schur -pc_fieldsplit_detect_saddle_point. Aby uzyskać więcej informacji, zobacz Podręcznik użytkownika i stronę podręcznika PCFIELDSPLIT . W przypadku trudniejszych problemów zapoznaj się z literaturą, aby znaleźć solidne metody i zapytaj tutaj ( [email protected]lub [email protected]), czy chcesz uzyskać porady dotyczące ich wdrożenia. Na przykład zobacz to pytanie dla wysokiej częstotliwości Helmholtza. W przypadku skromnych rozmiarów problemów sprawdź, czy możesz żyć tylko za pomocą bezpośredniego solvera.
• Jeśli metoda zbiega się w warstwie wstępnej kondycjonowanej, ale nie w reszcie resztkowej, to prawdopodobnie jednostka wstępna kondycjonująca jest pojedyncza lub prawie taka sama. Jest to powszechne w przypadku problemów z punktem siodłowym (np. Przepływ nieściśliwy) lub silnie niesymetrycznych operatorów (np. Problemy hiperboliczne o niskim Machu z dużymi krokami czasowymi).
• Warunek wstępny jest zbyt słaby lub niestabilny. Sprawdź, czy -pc_type asm -sub_pc_type lupoprawia współczynnik konwergencji. Jeśli GMRES traci zbyt duży postęp w ponownym uruchomieniu, sprawdź, czy dłuższe ponowne uruchomienie nie pomaga -ksp_gmres_restart 300. Jeśli transpozycja jest dostępna, wypróbuj -ksp_type bcgsinne metody, które nie wymagają ponownego uruchomienia. (Należy zauważyć, że zbieżność z tymi metodami jest często błędna).
• Matryca wstępnego kondycjonowania może nie znajdować się blisko (ewentualnie niezmontowanego) operatora. Spróbuj rozwiązać za pomocą solwera bezpośredniego, szeregowo -pc_type lulub równolegle, używając pakietu innej firmy (np. -pc_type lu -pc_factor_mat_solver_package superlu_distLub mumps). Metoda powinna zbiegać się w jednej iteracji, jeśli macierze są takie same, aw „małej” liczbie iteracji w przeciwnym razie. Spróbuj -snes_type testsprawdzić macierze, jeśli rozwiązujesz problem nieliniowy.
• Warunek wstępny jest nieliniowy (np. Zagnieżdżone iteracyjne rozwiązanie), spróbuj -ksp_type fgmres or -ksp_type gcr.
• Używasz geometrycznej wielosiatki, ale niektóre równania (często warunki brzegowe) nie są skalowane kompatybilnie między poziomami. Spróbuj -pc_mg_galerkinalgebraicznie skonstruować poprawnie wyskalowany operator zgrubny lub upewnij się, że wszystkie równania są skalowane w ten sam sposób, jeśli chcesz użyć ponownie zdyskretowanych poziomów zgrubnych.
• Matryca jest bardzo źle uwarunkowana. Sprawdź numer warunku, stosując metody opisane tutaj . Spróbuj to poprawić, wybierając względne skalowanie komponentów / warunków brzegowych. Spróbować -ksp_diagonal_scale -ksp_diagonal_scale_fix. Być może zmień sformułowanie problemu, aby uzyskać bardziej przyjazne równania algebraiczne. Jeśli nie możesz poprawić skalowania, może być konieczne użycie bezpośredniego solvera.
• Macierz jest nieliniowa (np. Oceniana przy użyciu różnicowania skończonego funkcji nieliniowej). Wypróbuj różne parametry różnicowania (np -mat_mffd_type ds.). Spróbuj użyć większą precyzję, aby różnicowanie dokładniejsze ./configure --with-precision=__float128 --download-f2cblaslapack. Sprawdź, czy zbiega się w „łatwiejszych” systemach parametrów.
• W przypadku problemu niesymetrycznego stosowana jest metoda symetryczna.
• Klasyczna Gram-Schmidt staje się niestabilna, spróbuj -ksp_gmres_modifiedgramschmidtlub zastosuj metodę, która inaczej ortogonalizuje, np -ksp_type gcr.

Moja rada dla studentów polega na wypróbowaniu bezpośredniego rozwiązania w takich przypadkach. Powodem jest to, że istnieją dwie klasy powodów, dla których solver może się nie zbiegać: (i) matryca jest niepoprawna lub (ii) występuje problem z solverem / warunkiem wstępnym. Bezpośrednie solwery prawie zawsze dają coś, co można porównać z oczekiwanym rozwiązaniem, więc jeśli odpowiedź bezpośredniego solwera wygląda poprawnie, oznacza to, że problem dotyczy iteracyjnego solvera / warunku wstępnego. Z drugiej strony, jeśli odpowiedź wydaje się błędna, problem polega na złożeniu matrycy i prawej stronie.

Zwykle używam UMFPACK jako bezpośredniego solvera. Jestem pewien, że łatwo wypróbować coś podobnego z PETSC.