Dekompozycja wartości własnej sumy: A (symetryczna) + D (przekątna)

Załóżmy, że jest prawdziwą macierzą symetryczną i podano jej rozkład wartości własnej Łatwo jest zobaczyć, co dzieje się z wartościami własnymi sumy gdzie jest stałą skalarną (patrz to pytanie ). Czy możemy wyciągnąć wnioski w ogólnym przypadku gdzie jest dowolną macierzą diagonalną? Dzięki. $A$ $V \Lambda V^T$ $A + cI$ $c$ $A + D$ $D$

Pozdrowienia,

Ivan

linear-algebra Ivan
źródło

Możesz uzyskać lepsze odpowiedzi, jeśli określisz, jakie wnioski Cię interesują.

David Ketcheson

@DavidKetcheson, tak, masz absolutną rację. W rzeczywistości staram się znaleźć skuteczny sposób obliczenia sekwencji wykładniczej wykładniczej postaci

gdzie

jest stałe, a

są macierzami diagonalnymi. Miałem nadzieję, że dekompozycję wartości własnej

wykonam tylko raz, a następnie wykorzystam ją w jakiś sposób, aby uwzględnić korektę wprowadzoną przez macierze diagonalne. Niestety,

ogólnie nie dojeżdżają do pracy, więc

e^{A + D_{i}}

$e^{A + D_i}$

A

$A$

D_{i}

$D_i$

A

$A$

A

$A$

D_{i}

$D_i$

e^{A + D_{i}} \neq e^{A} e^{D_{i}}

$e^{A + D_i} \neq e^A e^{D_i}$ . Byłbym wdzięczny za podzielenie się swoimi pomysłami. Dzięki.

Ivan

Jest to powiązane z scicomp.stackexchange.com/questions/503/…

Geoffrey Irving

Odpowiedzi:

Można powiedzieć bardzo niewiele, poza ogólnikami, takich jak, że wartości własne zmienia się w sposób ciągły z wpisów . $D$

Za pomocą obliczeń symbolicznych można zobaczyć w przypadku 2 na 2, że nie można oczekiwać niczego silnego.

Arnold Neumaier
źródło

Dziękuję za odpowiedź, wiedziałem, że usłyszę coś takiego. Czy mogę prosić o zapoznanie się z moim komentarzem powyżej?

Ivan

złożoność obliczania macierzy wykładniczej i złożoność obliczania faktoryzacji widmowej jest prawie taka sama. Więc nie, nie ma prostego rozwiązania. Co możesz jednak zrobić, jeśli macierze diagonalne leżą w podprzestrzeni lowD, aby obliczyć odpowiednią część wykładniczej (lub cokolwiek, co chcesz z niej obliczyć) dla szeregu konkretnych wyborów dobrze rozmieszczonych w twojej przestrzeni żądanych wartości, a następnie użyj algorytmu interpolacji do przybliżenia wszystkich pozostałych.

Arnold Neumaier

A

$A$

e^{A}

$e^A$

V e^{Λ} V^{T}

$V e^\Lambda V^T$

A + D_{i}

$A + D_i$

D

$D$

Ming Gu i Stanley C. Eisenstat badali ten problem wcześniej, patrz link: http://www.cs.yale.edu/publications/techreports/tr916.pdf

Ten artykuł rozwiązuje problem permutacji pierwszego stopnia, który nie może rozwiązać tutaj problemu. Jeśli ktoś napotka problem permutacji na pierwszym miejscu, to pomaga.

skyuuka
źródło

Dodanie macierzy diagonalnej nie jest poprawką pierwszego stopnia, więc nie jestem pewien, jak ten papier pomaga w tym przypadku.

Christian Clason,

@ChristianClason: Racja! Po prostu to rozumiem. Dzięki za wskazanie tego!

skyuuka