Stabilność numeryczna wielomianów zerowych wyższego rzędu

Próbuję obliczyć wyższego rzędu (np m=0, n=46) chwile Zernike jakiegoś obrazu. Mam jednak problem dotyczący wielomianu promieniowego (patrz wikipedia ). Jest to wielomian zdefiniowany w przedziale [0 1]. Zobacz kod MATLAB poniżej

function R = radial_polynomial(m,n,RHO)
    R = 0;
    for k = 0:((n-m)/2)        
        R = R + (-1).^k.*factorial(n-k) ...
            ./ ( factorial(k).*factorial((n+m)./2-k) .* factorial((n-m)./2-k) ) ...
            .*RHO.^(n-2.*k);
    end
end

To oczywiście napotyka na problemy numeryczne w pobliżu RHO > 0.9.

Próbowałem przeredagować go, tak aby polyvalmyślał, że może mieć lepsze algorytmy za kulisami, ale to niczego nie rozwiązało. Przekształcenie go w obliczenie symboliczne stworzyło pożądany wykres, ale było zadziwiająco powolne, nawet w przypadku prostego wykresu, takiego jak pokazano.

Czy istnieje stabilny numerycznie sposób oceny wielomianów wysokiego rzędu?

W tym artykule Honarvar i Paramesran opracowali interesującą metodę obliczenia wielomianów promieniowych Zernike w bardzo przyjemny sposób rekurencyjny. Formuła rekurencyjna jest zaskakująco prosta, bez dzielenia lub mnożenia przez duże liczby całkowite:

Jest to zaimplementowane w następującym skrypcie Octave:

clear                                     % Tested with Octave instead of Matlab
N = 120;
n_r = 1000;
R = cell(N+1,N+1);
rho = [0:n_r]/n_r;
rho_x_2 = 2*[0:n_r]/n_r;

R{0+1,0+1} = ones(1,n_r+1);               % R^0_0  Unfortunately zero based cell indexing is not possible
R{1+1,1+1} = R{0+1,0+1}.*rho;             % R^1_1  ==>  R{...+1,...+1} etc.
for n = 2:N,
    if bitget(n,1) == 0,                  % n is even
        R{0+1,n+1} = -R{0+1,n-2+1}+rho_x_2.*R{1+1,n-1+1};                % R^0_n
        m_lo = 2;
        m_hi = n-2;
    else
        m_lo = 1;
        m_hi = n-1;
    end
    for m = m_lo:2:m_hi,
        R{m+1,n+1} = rho.*(R{m-1+1,n-1+1}+R{m+1+1,n-1+1})-R{m+1,n-2+1};  % R^m_n
    end
    R{n+1,n+1} = rho.*R{n-1+1,n-1+1};                                    % R^n_n
end;


Z = @(m,n,rho) (-1)^((n-m)/2) * rho.^m .* jacobiPD((n-m)/2,m,0,1-2*rho.^2);
m = 22;
n = 112;
figure
plot(rho,Z(m,n,rho))
hold on
plot(rho,R{m+1,n+1},'r');
xlabel("rho")
ylabel("R^{22}_{112}(rho)")
legend("via Jacobi","recursive");
%print -djpg plt.jpg

m = 0;
n = 46;
max_diff_m_0_n_46 = norm(Z(m,n,rho)-R{m+1,n+1},inf)

Na przykład liczba wygenerowana przez ten kod pokazuje, że za pomocą $m = 22$, i $n = 112$, katastrofalne anulowanie następuje w pobliżu $\rho = 0.7$, jeśli wielomiany promieniowe Zernike są obliczane za pomocą wielomianów Jacobiego. Dlatego należy również martwić się o dokładność wielomianów Zernike niższego stopnia.

Metoda rekurencyjna wydaje się znacznie bardziej odpowiednia do stabilnego obliczania wielomianów zerowych wyższego rzędu. Niemniej jednak dla$m = 0$ i $n = 46$, maksymalna różnica między metodą Jacobi a metodą rekurencyjną wynosi (tylko?) 1.4e-10, co może być wystarczająco dokładne dla Twojej aplikacji.

Możliwym rozwiązaniem (sugerowanym przez @gammatester) jest użycie wielomianów Jacobi. To omija problem katastroficznego anulowania przy dodawaniu dużych współczynników wielomianowych poprzez „naiwną” ocenę wielomianu.

Promieniowy wielomian Zernike może być wyrażony przez wielomiany Jacobiego w następujący sposób (patrz równanie (6) )

Jednak w MATLAB użycie jacobiP(n,a,b,x)jest niedopuszczalnie powolne w przypadku dużych wektorów / macierzy x=rho. Ta jacobiPfunkcja jest właściwie częścią Symbolicznego zestawu narzędzi, a ocena wielomianu jest odraczana do silnika symbolicznego, który zamienia prędkość na dowolną precyzję. Konieczna jest zatem ręczna implementacja wielomianów Jacobi.

Ponieważ wszystkie parametry funkcji Jacobi są nieujemne ($\alpha=m$, $\beta=0$, $n^*=(n-m/2)$), możemy użyć następującego wyrażenia (patrz Wikipedia , zauważ, że wpisałem wartości dla$s$)

MATLAB przekłada się (Jacobim P olice d epartment P olynomial ' D ouble' Wykonanie)

function P = jacobiPD(n,a,b,x)
    P = 0;
    for  s  0:n
        P = P + ...
            1/(factorial(s)*factorial(n+a-s)*factorial(b+s)*factorial(n-s)) * ...
            ((x-1)/2).^(n-s).*((x+1)/2).^s;
    end
    P = P*factorial(n+a) * factorial(n+b);
end

Rzeczywisty wielomian promieniowy Zernike jest zatem (dla m=abs(m))

Z = @(m,n,rho) (-1)^((n-m)/2) * rho.^m .* jacobiPD((n-m)/2,m,0,1-2*rho.^2);

Uwaga: ta odpowiedź jest tylko praktycznym rozwiązaniem; dodaj inną odpowiedź, która wyjaśnia, dlaczego to działa.