Próbuję zrozumieć niektóre wyniki i doceniłbym kilka ogólnych uwag na temat rozwiązywania problemów nieliniowych.
Równanie Fishera (nieliniowe PDE z dyfuzją reakcyjną),
w formie dyskretnej,
gdzie jest operatorem różnicowym, a to szablon dyskretyzacji.
metoda
Chcę zastosować system domyślny, ponieważ potrzebuję stabilności i nieograniczonego czasu. W tym celu używam metody , (zauważ, że daje w pełni niejawny schemat, a daje schemat trapezoidalny lub „Crank-Nicolson”),
Jednak w przypadku problemów nieliniowych nie można tego zrobić, ponieważ równania nie można zapisać w postaci liniowej.
Aby obejść ten problem, badałem dwa podejścia numeryczne,
Metoda IMEX
Najbardziej oczywistą drogą jest zignorowanie nieliniowej części terminu reakcji i po prostu zaktualizowanie terminu reakcji z najlepszą możliwą wartością, tj. Tą z poprzedniego etapu czasowego. Wynikiem tego jest metoda IMEX.
Solver Newtona
Równanie pełnej -method można rozwiązać za pomocą iteracji Newtona-Raphsona, aby znaleźć zmienną przyszłego rozwiązania. Gdzie jest indeksem iteracji ( ), a jest jakobską macierzą . W tym przypadku używam symboli dla zmiennych iteracyjnych, tak że różnią się one od rozwiązania równania w punkcie czasu rzeczywistego . W rzeczywistości jest to zmodyfikowany solver Newtona, ponieważ jakobian nie jest aktualizowany przy każdej iteracji.k k ≥ 0 A n F ( w n ) ν k u n
Wyniki
Powyższe wyniki są obliczane dla stosunkowo dużego kroku czasowego i pokazują różnicę między podejściem krokowym a pełnym rozwiązaniem iteracyjnym Newtona.
Czego nie rozumiem:
Dziwi mnie, że metoda skokowa czasu działa „OK”, ale z czasem pozostaje w tyle za rozwiązaniem analitycznym. ( Uwaga: jeśli wybrałem mniejszy krok czasowy, wówczas podejście krokowe daje wyniki zamknięte dla modelu analitycznego). Dlaczego podejście krokowe daje rozsądne wyniki równania nieliniowego?
Model Newtona ma się znacznie lepiej, ale z czasem zaczyna przewodzić modelowi analitycznemu. Dlaczego dokładność podejścia Newtona zmniejsza się z czasem? Czy można poprawić dokładność?
Dlaczego istnieje ogólna cecha, że po wielu iteracjach model numeryczny i model analityczny zaczynają się różnić? Czy to tylko dlatego, że przedział czasowy jest zbyt duży, czy zawsze tak się stanie?
źródło
Odpowiedzi:
Zakładam, że przeprowadziłeś dyskretyzację przestrzeni, więc chodzi o rozwiązanie ODE za pomocą schematu numerycznego który przesuwa przybliżenie w chwili obecnej do następnej wartości przy .Φu n h t=tnu n + 1 h t=tn+1:=tn+τ
Następnie twoje pytania odnoszą się do właściwości jawnych , gdzie aktualizacja zapisuje jako
niejawne , zapisane jak
lub kombinacja obu („ IMEX ”, patrz odpowiedź @Jeda Browna) jednoetapowych schematów krokowych.
W tym ustawieniu metoda Newtona jest po prostu podejściem do rozwiązania potencjalnie nieliniowego systemu wynikającego z . ( ∗ )un + 1h ( ∗ )
A moje odpowiedzi opierają się na wynikach analizy numerycznej metod jednoetapowych.
Jeszcze kilka uwag i ostateczna odpowiedź:
Więc moja odpowiedź brzmi: tak , możesz rozwiązać nieliniowe PDE bez metody Newtona. Możesz użyć schematów jawnych, schematów „IMEX” lub tak zwanych metod niejawnie liniowych (np. Metod Rosenbrocka). Możesz także zastosować inne podejścia do rozwiązywania układów z takie jak iteracja w punkcie stałym lub, w szczególnych przypadkach, solwery algebraiczne.( ∗ )
źródło
Krótka odpowiedź
Jeśli potrzebujesz tylko dokładności drugiego rzędu i braku wbudowanej oceny błędów, istnieje szansa, że będziesz zadowolony z podziału Strang: pół kroku reakcji, pełny krok dyfuzji, pół kroku reakcji.
Długa odpowiedź
Dyfuzja reakcji, nawet przy reakcji liniowej, słynie z wykazywania błędu podziału. Rzeczywiście, może być znacznie gorzej, w tym „konwergowanie” do niepoprawnych stanów ustalonych, mylenie stanów ustalonych z cyklami granicznymi, mylenie konfiguracji stabilnych i niestabilnych i wiele innych. Patrz Ropp, Shadid i Ober (2004) oraz Knoll, Chacon, Margolin i Mousseau (2003), aby zobaczyć perspektywę fizyków obliczeniowych na ten temat. Analiza matematyka pod względem warunków zamówienia znajduje się w książce Hairera i Wannera na temat sztywnej ODE (metody Rosenbrock-W są metodą implictu liniowo domniemaną), Kennedy i Carpenter (2003) dla nieliniowo domniemanego „dodatku” IMEX Runge-Kutta, oraz strona Emila Constantinescu, aby uzyskać najnowsze metody IMEX.
Ogólnie rzecz biorąc, metody IMEX mają więcej warunków zamówienia niż same ukryte metody ukryte i jawne. Pary metod IMEX można projektować z pożądaną stabilnością liniową i nieliniową, tak aby spełniały wszystkie warunki rzędu aż do kolejności projektowania metody. Spełnienie wszystkich warunków zamówienia pozwoli zachować asymptotyczny błąd podziału w tej samej skali, co błąd w każdym schemacie osobno. Nie mówi nic o reżimie przed asymptotycznym (duże kroki czasowe / wymaganie niskiej dokładności), ale rzadko jest bardziej rygorystyczne niż rozdzielczość każdej części osobno. W każdym razie błąd podziału jest widoczny dla wbudowanego estymatora błędów (w przypadku korzystania z adaptacyjnej kontroli błędów).
PETSc ma wiele metod IMEX z rodzin Rosenbrock-W i dodatków Runge-Kutta , i będzie miał ekstrapolację i liniowy wieloetapowy IMEX w naszym następnym wydaniu.
Oświadczenie: Napisałem wiele ze wsparcia integracji czasu PETSc i współpracuję z Emilem (link powyżej).
źródło