Zero, First, Second… Hold n-tego rzędu

9

Funkcja prostokątna jest zdefiniowana jako:

rect(t)={0if |t|>1212if |t|=121if |t|<12.

Funkcja trójkątna jest zdefiniowana jako:

tri(t)={1|t|,|t|<10,otherwise
Jest to splot dwóch identycznych funkcji prostokątnych:
tri(t)=rect(t)rect(t)=rect(τ)rmidot(t-τ) reτ
Funkcje wstrzymania zerowego i wstrzymania pierwszego rzędu używają tych funkcji. W rzeczywistości ma:
xZOH.(t)=n=-x(n)rmidot(t-n) 
dla blokady zerowego zamówienia oraz
xfaOH.(t)=n=-x(n)trja(t-n) 
do wstrzymania pierwszego rzędu. Odtri(t)=rect(t)rect(t), Chciałbym wiedzieć, czy to tylko zbieg okoliczności, czy też, w przypadku wstrzymania drugiego rzędu odpowiedzią impulsową jest
tri(t)tri(t)=(rect(t)rect(t))(rect(t)rect(t)).
Czy dotyczy to również generała k-Trzymaj zamówienie? Mianowicie
xK.-T.H.(t)=n=-x(n)solk(t-n) 
gdzie solk(t-n) jest odpowiedzią impulsową k-Trzymaj porządek, chciałbym wiedzieć, czy jego odpowiedź impulsowa jest
gk(tn)=(rect(t)rect(t))(rect(t)rect(t)),
k razy.
znak
źródło
nie widziałem referencji dla k-Trzymaj zamówienie dla k>1. spodziewałbym się, że to będzierect(t) funkcja spleciona z samym sobą k1czasy. ale nie wiem, co to za definicja.
Robert Bristol-Johnson
1
@ robertbristow-johnson: Analogicznie do wstrzymania rzędu zerowego (wielomianowa interpolacja rzędu zerowego, tj. stała fragmentowa) i zatrzymania pierwszego rzędu (interpolacja wielomianowa pierwszego rzędu, tzn. liniowa fragmentowa), trzymanie n-tego rzędu jest częściową interpolacją przez wielomian n-tego rzędu. Jest tu wspomniane (s. 6).
Matt L.
1
Te i to, co @ robertbristow-johnson opisuje w swojej odpowiedzi poniżej, nazywa się B-splajnami.
Olli Niemitalo
czy ktoś może pokazać przy użyciu matrycy obrazu ze współczynnikiem 2? I nie jestem do końca pewien, co do tego czynnika.
user30462

Odpowiedzi:

9

Nie o to chodzi. Po pierwsze, wstrzymanie drugiego rzędu wykorzystałoby trzy punkty próbne do obliczenia wielomianu interpolacji, ale sugerowana odpowiedź impulsowatri(t)tri(t) jest niezerowy w przedziale wielkości 4 (przy założeniu przykładowego interwału wynoszącego T=1, jak w swoim pytaniu). Jednak odpowiedź impulsowa odpowiadająca wstrzymaniu drugiego rzędu musi mieć podparcie długości3.

Teraz możesz zasugerować, że nth-zamówienie może mieć impulsową odpowiedź, która jest splotem nfunkcje prostokątne. W takim przypadku uzyskasz prawidłowy rozmiar podpory, ale oczywiście to nie wystarczy.

Na nth-order hold oblicza interpolację częściową za pomocą n+1kolejne punkty danych. Jest to analogiczne do wstrzymania zerowego rzędu przy użyciu pojedynczego punktu danych i wstrzymania pierwszego rzędu, w którym wykorzystuje się dwa punkty danych. Ta definicja jest powszechnie stosowana w literaturze (patrz np. Tutaj i tutaj ).

Łatwo jest pokazać, że wielomian drugiego rzędu interpolujący trzy punkty danych y[1], y[0], i y[1] jest dany przez

(1)P(t)=y[1]t(t1)2+y[0](1t2)+y[1]t(t+1)2

Aby znaleźć odpowiedź impulsową osiągającą interpolację podaną przez (1), musimy to zrównać (1) z wyrazem

(2)y[1]h(t+1)+y[0]h(t)+y[1]h(t1)

Jeśli wybierzemy wsparcie reakcji impulsowej h(t) jako interwał [1,2], co jest równoważne wybraniu interwału interpolacji [0,1], zrównanie (1) i (2) skutkuje następującą odpowiedzią impulsową wstrzymania drugiego rzędu:

(3)h(t)={12(t+1)(t+2),1<t<01t2,0t112(t1)(t2),1<t<20,otherwise

Odpowiedź impulsowa (3) blokady drugiego rzędu wygląda następująco: wprowadź opis zdjęcia tutaj

Pozostawiam państwu wykazanie, że tej odpowiedzi impulsowej nie można wygenerować poprzez zebranie ze sobą trzech prostokątnych funkcji.

Matt L.
źródło
Matt, czy możesz podać odniesienie do reprezentacji blokady drugiego rzędu. jestem w 100% przekonany, że fabuła jest błędna.
Robert Bristol-Johnson
poprawiłem Eq. (1) (przy założeniu, że przesłanka jest poprawna). zostawię to tobie, aby to odzwierciedlićh(t).
Robert Bristol-Johnson
@ robertbristow-johnson: Cofnąłem twoją edycję, ponieważ twoja „korekta” była błędna. Moje równanie dajeP(1)=y[1], jak powinno być; twój dajeP(1)=y[1]. Zostawię to tobie, aby zastanowić się, dlaczego to jest źle.
Matt L.
stoję skorygowany o „korekcie”. straciłem liczbę znaków minus. (właściwie tak myślałem(t1)=2który jest wyłączony przez znak minus. trochę się rozejrzałem. nikt nie wydaje się szczególnie wyraźny.
Robert Bristol-Johnson
5

dlatego myślę, że n-Trzymanie rzędu jest rect(tT/2T) splotł się przeciwko sobie n czasy.

Wikipedia nie jest ostatecznym odniesieniem do wszystkich rzeczy, ale jest coś, co wąchałem stamtąd. rozważ pobranie próbek i rekonstrukcję (Shannon Whittaker bez względu na formułę). jeśli oryginalny limit wejściowy tox(t) a próbki są x[n]x(nT) wejście o ograniczonym paśmie można odtworzyć z próbek za pomocą

x(t)=n=x[n] sinc(tnTT)

który jest wyjściem idealnego filtra ścianowego z pasmem przenoszenia:

H(f)=rect(fT)={1|f|<12T0|f|>12T

gdy jest sterowany przez idealnie próbkowaną funkcję

xs(t)=x(t)n=δ(tnTT)=x(t)Tn=δ(tnT)=Tn=x(t)δ(tnT)=Tn=x(nT)δ(tnT)=Tn=x[n]δ(tnT)

więc kiedy xs(t) wchodzi w H(f), wychodzi x(t). T współczynnik jest potrzebny, aby wzmocnienie pasma przepustowego filtra rekonstrukcyjnego, H(f) jest bezwymiarowy 1 lub 0 dB.

oznacza to, że odpowiedź impulsowa tego idealnego filtra ścianowego jest

h(t)=F1{H(f)}=1Tsinc(tT)

zrekonstruowany x(t) jest

x(t)=h(t)xs(t)

wyraźnie nie zdajemy sobie sprawy z tego filtra rekonstrukcji, ponieważ nie jest on przyczynowy. ale z wystarczającym opóźnieniem możemy być w stanie zbliżyć się do siebie z opóźnionym przyczynemh(t).

teraz praktyczny przetwornik cyfrowo-analogowy nie zbliża się szczególnie blisko, ale ponieważ po prostu generuje wartość próbki x[n] dla okresu próbkowania bezpośrednio po próbce, wyjście DAC wygląda następująco

xDAC(t)=n=x[n] rect(tnTT2T)

i może być modelowany jako filtr z odpowiedzią impulsową

hZOH(t)=1Trect(tT2T)

napędzany przez to samo xs(t). więc

xDAC(t)=hZOH(t)xs(t)

a odpowiedź częstotliwościowa domyślnego filtra rekonstrukcyjnego wynosi

HZOH(f)=F1{hZOH(t)}=1ej2πfTj2πfT=ejπfTsinc(fT)

zwróć uwagę na stałe opóźnienie połowy próbki w tej odpowiedzi częstotliwościowej. to gdzie trzymać zerowego rzędu pochodzi.

tak więc, podczas gdy ZOH ma taki sam zysk DC jak idealna rekonstrukcja ściany, ale nie taki sam zysk na innych częstotliwościach. dodatkowo obrazy wxs(t) nie są w pełni pobici, jak w przypadku ściany z cegły, ale są trochę pobici.

więc dlaczego w POV w dziedzinie czasu tak jest? myślę, że to z powodu nieciągłości wxDAC(t). nie jest tak źle, jak suma impulsów diracaxs(t), ale xDAC(t) ma nieciągłości skoków.

jak pozbyć się nieciągłości skoków? może zamienią je w nieciągłości pierwszej pochodnej. i robisz to przy użyciu, jeśli integracja w ciągłej dziedzinie czasu. tak więc wstrzymanie pierwszego rzędu to takie, w którym wyjście przetwornika cyfrowo-analogowego jest prowadzone przez integrator z funkcją przesyłania1jot2)πfaT.ale staramy się cofnąć działanie integratora za pomocą elementu różnicującego wykonanego w domenie czasu dyskretnego. wyjście tego różnicowego czasu dyskretnego wynosix[n]-x[n-1] lub Z-transform X(z)-z-1X(z)=X(z)(1-z-1)

funkcją przenoszenia tego wyróżnika jest (1-z-1) lub w ciągłej domenie Fouriera (1-(mijot2)πfaT.)-1)=1-(mi-jot2)πfaT.). powoduje to, że mnożona jest funkcja przenoszenia funkcji pierwszego rzędu integratora ciągłego czasu, różnicnika dyskretnego i ZOH przetwornika cyfrowo-analogowego.

H.FOH(fa)=fa-1{hFOH(t)}=(1-mijot2)πfaT.jot2)πfaT.)2)=mijot2)πfaT.sinc2)(faT.)

odpowiedź impulsowa tego jest

hFOH(t)=F{HFOH(f)}=(rect(tT2T))(rect(tT2T))=1Ttri(tTT)

teraz, kontynuując to dalej, wstrzymanie drugiego rzędu będzie miało zarówno ciągłą zerę, jak i pierwsze pochodne. robi to, integrując się ponownie w dziedzinie czasu ciągłego i próbując nadrobić to w dziedzinie czasu dyskretnego innym wyróżnikiem. który wrzuca innyejπfTsinc(fT) czynnik, który oznacza połączenie z innym rect(tT2T).

Robert Bristol-Johnson
źródło
To w końcu zbiegnie się w odpowiedź impulsową Gaussa i nie mogę tego zrozumieć zbyt intuicyjnie. Mocno wierzę, że trzymanie n-tego rzędu jest - w całkowitej analogii z ZOH i FOH - interpolatorem wielomianowym n-tego rzędu. Podzielam ten pogląd z kilkoma innymi autorami: np. Tymi i tym . Nigdzie indziej nie widziałem twojej interpretacji n-tego rzędu.
Matt L.
bardzo długi gaussian. odpowiedź impulsowa ann-Trzymanie zamówienia będzie n+1 sąsiednie sekcje kawałek po kawałku nwielomianów rzędu trzeciego połączone w taki sposób, że wszystkie pochodne, aż do (n1)-ta pochodna będzie ciągła. i myślę, że to przyczynowo. BTW, jeszcze nie skończyłem odpowiedzi. Trochę się na tym zdołałem, ale w końcu planuję to wszystko połączyć. i naprawię całą gramatykę lotta
Robert Bristol-Johnson
2

Kolejne pytanie oznaczono jako duplikat tego. Tam zapytano również, co to jest chwyt wielokątny . To i blokada wielokąta wydają się być synonimami interpolacji liniowej, w której „kropki są połączone”, a nie wynik wygląda jak piła, jak w predykcyjnym wstrzymaniu pierwszego rzędu. Łączenie próbek z liniami wymaga wcześniejszej znajomości kolejnej próbki, aby linia mogła być skierowana we właściwym kierunku. W kontekście systemów sterowania w czasie rzeczywistym, w których próbki nie są znane z góry, oznacza to, że wyjście musi być opóźnione o jeden okres próbkowania, aby linie mogły połączyć się z próbkami.

Trzymanie wielomianowe (nie trzymanie wielokąta) obejmuje zarówno trzymanie zerowego rzędu, jak i trzymanie pierwszego rzędu.

Olli Niemitalo
źródło