Zero, First, Second… Hold n-tego rzędu

9

Funkcja prostokątna jest zdefiniowana jako:

r e c t (t) = {\begin{cases} 0 & if | t | > \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & if | t | = \frac{1}{2} \\ 1 & if | t | < \frac{1}{2} . \end{cases}

$\mathrm{rect}(t) = \begin{cases} 0 & \mbox{if } |t| > \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \mbox{if } |t| = \frac{1}{2} \\ 1 & \mbox{if } |t| < \frac{1}{2}. \\ \end{cases}$

Funkcja trójkątna jest zdefiniowana jako:

tri (t) = {\begin{cases} 1 - | t |, & | t | < 1 \\ 0, & otherwise \end{cases}

$\operatorname{tri}(t) = \begin{cases} 1 - |t|, & |t| < 1 \\ 0, & \mbox{otherwise} \end{cases}$ Jest to splot dwóch identycznych funkcji prostokątnych:

tri (t) = rect (t) * rect (t) = \int_{- \infty}^{\infty} r e c t (τ) \cdot r mi do t (t - τ) re τ

$\operatorname{tri}(t) = \operatorname{rect}(t) * \operatorname{rect}(t) \quad = \int_{-\infty}^\infty \mathrm{rect}(\tau) \cdot \mathrm{rect}(t-\tau)\ d\tau$ Funkcje wstrzymania zerowego i wstrzymania pierwszego rzędu używają tych funkcji. W rzeczywistości ma:

x_{Z O H.} (t) = \sum_{n = - \infty}^{\infty} x (n) r mi do t (t - n)

$x_{\mathrm{ZOH}}(t)\,= \sum_{n=-\infty}^{\infty} x(n)\, \mathrm{rect} \left(t-n\right) \$ dla blokady zerowego zamówienia oraz

x_{fa O H.} (t) = \sum_{n = - \infty}^{\infty} x (n) t r ja (t - n)

$x_{\mathrm{FOH}}(t)\,= \sum_{n=-\infty}^{\infty} x(n)\, \mathrm{tri} \left(t-n\right) \$ do wstrzymania pierwszego rzędu. Od

tri (t) = rect (t) * rect (t)

$\operatorname{tri}(t) = \operatorname{rect}(t) * \operatorname{rect}(t)$ , Chciałbym wiedzieć, czy to tylko zbieg okoliczności, czy też, w przypadku wstrzymania drugiego rzędu odpowiedzią impulsową jest

tri (t) * tri (t) = (rect (t) * rect (t)) * (rect (t) * rect (t)) .

$\operatorname{tri}(t)*\operatorname{tri}(t)=\left(\operatorname{rect}(t) * \operatorname{rect}(t)\right)*\left(\operatorname{rect}(t) * \operatorname{rect}(t)\right).$ Czy dotyczy to również generała

k

$k$ -Trzymaj zamówienie? Mianowicie

x_{K. - T. H.} (t) = \sum_{n = - \infty}^{\infty} x (n) {sol}_{k} (t - n)

$x_{\mathrm{K-TH}}(t)\,= \sum_{n=-\infty}^{\infty} x(n)\, \mathrm{g}_k \left(t-n\right) \$ gdzie

g_{k} (t - n)

$\mathrm{g}_k \left(t-n\right)$ jest odpowiedzią impulsową

k

$k$ -Trzymaj porządek, chciałbym wiedzieć, czy jego odpowiedź impulsowa jest

g_{k} (t - n) = (rect (t) * rect (t)) * \dots * (rect (t) * rect (t)),

$\mathrm{g}_k \left(t-n\right)=\left(\operatorname{rect}(t) * \operatorname{rect}(t)\right)* \dots * \left(\operatorname{rect}(t) * \operatorname{rect}(t)\right),$ k razy.

sampling interpolation znak
źródło

nie widziałem referencji dla

k

$k$ -Trzymaj zamówienie dla

k > 1

$k>1$ . spodziewałbym się, że to będzie

rect (t)

$\operatorname{rect}(t)$ funkcja spleciona z samym sobą

k - 1

$k-1$ czasy. ale nie wiem, co to za definicja.

Robert Bristol-Johnson

1

@ robertbristow-johnson: Analogicznie do wstrzymania rzędu zerowego (wielomianowa interpolacja rzędu zerowego, tj. stała fragmentowa) i zatrzymania pierwszego rzędu (interpolacja wielomianowa pierwszego rzędu, tzn. liniowa fragmentowa), trzymanie n-tego rzędu jest częściową interpolacją przez wielomian n-tego rzędu. Jest tu wspomniane (s. 6).

Matt L.

1

Te i to, co @ robertbristow-johnson opisuje w swojej odpowiedzi poniżej, nazywa się B-splajnami.

Olli Niemitalo

czy ktoś może pokazać przy użyciu matrycy obrazu ze współczynnikiem 2? I nie jestem do końca pewien, co do tego czynnika.

user30462

9

Nie o to chodzi. Po pierwsze, wstrzymanie drugiego rzędu wykorzystałoby trzy punkty próbne do obliczenia wielomianu interpolacji, ale sugerowana odpowiedź impulsowa $\text{tri}(t)\star\text{tri}(t)$ jest niezerowy w przedziale wielkości $4$ (przy założeniu przykładowego interwału wynoszącego $T=1$ , jak w swoim pytaniu). Jednak odpowiedź impulsowa odpowiadająca wstrzymaniu drugiego rzędu musi mieć podparcie długości $3$ .

Teraz możesz zasugerować, że $n^{th}$ -zamówienie może mieć impulsową odpowiedź, która jest splotem $n$ funkcje prostokątne. W takim przypadku uzyskasz prawidłowy rozmiar podpory, ale oczywiście to nie wystarczy.

Na $n^{th}$ -order hold oblicza interpolację częściową za pomocą $n+1$ kolejne punkty danych. Jest to analogiczne do wstrzymania zerowego rzędu przy użyciu pojedynczego punktu danych i wstrzymania pierwszego rzędu, w którym wykorzystuje się dwa punkty danych. Ta definicja jest powszechnie stosowana w literaturze (patrz np. Tutaj i tutaj ).

Łatwo jest pokazać, że wielomian drugiego rzędu interpolujący trzy punkty danych $y[-1]$ , $y[0]$ , i $y[1]$ jest dany przez

\begin{matrix} (1) & P (t) = y [- 1] \frac{t (t - 1)}{2} + y [0] (1 - t^{2}) + y [1] \frac{t (t + 1)}{2} \end{matrix}

$P(t)=y[-1]\frac{t(t-1)}{2}+y[0](1-t^2)+y[1]\frac{t(t+1)}{2}\tag{1}$

Aby znaleźć odpowiedź impulsową osiągającą interpolację podaną przez $(1)$ , musimy to zrównać $(1)$ z wyrazem

\begin{matrix} (2) & y [- 1] h (t + 1) + y [0] h (t) + y [1] h (t - 1) \end{matrix}

$y[-1]h(t+1)+y[0]h(t)+y[1]h(t-1)\tag{2}$

Jeśli wybierzemy wsparcie reakcji impulsowej $h(t)$ jako interwał $[-1,2]$ , co jest równoważne wybraniu interwału interpolacji $[0,1]$ , zrównanie $(1)$ i $(2)$ skutkuje następującą odpowiedzią impulsową wstrzymania drugiego rzędu:

\begin{matrix} (3) & h (t) = {\begin{cases} \frac{1}{2} (t + 1) (t + 2), & - 1 < t < 0 \\ 1 - t^{2}, & 0 \leq t \leq 1 \\ \frac{1}{2} (t - 1) (t - 2), & 1 < t < 2 \\ 0, & otherwise \end{cases} \end{matrix}

$h(t)=\begin{cases}\frac12(t+1)(t+2),&\quad -1<t<0\\ 1-t^2,&\quad0\le t \le 1\\ \frac12 (t-1)(t-2),&\quad 1<t<2\\ 0,&\quad\text{otherwise}\end{cases}\tag{3}$

Odpowiedź impulsowa $(3)$ blokady drugiego rzędu wygląda następująco:

Pozostawiam państwu wykazanie, że tej odpowiedzi impulsowej nie można wygenerować poprzez zebranie ze sobą trzech prostokątnych funkcji.

Matt L.
źródło

Matt, czy możesz podać odniesienie do reprezentacji blokady drugiego rzędu. jestem w 100% przekonany, że fabuła jest błędna.

Robert Bristol-Johnson

poprawiłem Eq. (1) (przy założeniu, że przesłanka jest poprawna). zostawię to tobie, aby to odzwierciedlić

h (t)

$h(t)$ .

Robert Bristol-Johnson

@ robertbristow-johnson: Cofnąłem twoją edycję, ponieważ twoja „korekta” była błędna. Moje równanie daje

P (- 1) = y [- 1]

$P(-1)=y[-1]$ , jak powinno być; twój daje

P (- 1) = - y [- 1]

$P(-1)=-y[-1]$ . Zostawię to tobie, aby zastanowić się, dlaczego to jest źle.

Matt L.

stoję skorygowany o „korekcie”. straciłem liczbę znaków minus. (właściwie tak myślałem

(t - 1) = 2

$(t-1)=2$ który jest wyłączony przez znak minus. trochę się rozejrzałem. nikt nie wydaje się szczególnie wyraźny.

Robert Bristol-Johnson

5

dlatego myślę, że $n$ -Trzymanie rzędu jest $\operatorname{rect}\left( \frac{t - T/2}{T} \right)$ splotł się przeciwko sobie $n$ czasy.

Wikipedia nie jest ostatecznym odniesieniem do wszystkich rzeczy, ale jest coś, co wąchałem stamtąd. rozważ pobranie próbek i rekonstrukcję (Shannon Whittaker bez względu na formułę). jeśli oryginalny limit wejściowy to $x(t)$ a próbki są $x[n]\triangleq x(nT)$ wejście o ograniczonym paśmie można odtworzyć z próbek za pomocą

x (t) = \sum_{n = - \infty}^{\infty} x [n] sinc (\frac{t - n T}{T})

$x(t) = \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} x[n] \ \operatorname{sinc}\left( \frac{t - nT}{T} \right)$

który jest wyjściem idealnego filtra ścianowego z pasmem przenoszenia:

\begin{aligned} H (f) & = rect (f T) \\ = {\begin{cases} 1 | f | < \frac{1}{2 T} \\ 0 | f | > \frac{1}{2 T} \end{cases} \end{aligned}

$\begin{align} H(f) &= \operatorname{rect}(fT) \\ &= \begin{cases} 1 \quad |f| < \frac{1}{2T} \\ 0 \quad |f| > \frac{1}{2T} \\ \end{cases} \end{align}$

gdy jest sterowany przez idealnie próbkowaną funkcję

\begin{aligned} x_{s} (t) & = x (t) \cdot \sum_{n = - \infty}^{\infty} δ (\frac{t - n T}{T}) \\ = x (t) \cdot T \sum_{n = - \infty}^{\infty} δ (t - n T) \\ = T \sum_{n = - \infty}^{\infty} x (t) δ (t - n T) \\ = T \sum_{n = - \infty}^{\infty} x (n T) δ (t - n T) \\ = T \sum_{n = - \infty}^{\infty} x [n] δ (t - n T) \end{aligned}

$\begin{align} x_\text{s}(t) & = x(t) \cdot \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} \delta\left( \frac{t - nT}{T} \right) \\ & = x(t) \cdot T \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} \delta(t - nT) \\ & = T \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} x(t) \delta(t - nT) \\ & = T \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} x(nT) \delta(t - nT) \\ & = T \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} x[n] \delta(t - nT) \\ \end{align}$

więc kiedy $x_\text{s}(t)$ wchodzi w $H(f)$ , wychodzi $x(t)$ . $T$ współczynnik jest potrzebny, aby wzmocnienie pasma przepustowego filtra rekonstrukcyjnego, $H(f)$ jest bezwymiarowy $1$ lub 0 dB.

oznacza to, że odpowiedź impulsowa tego idealnego filtra ścianowego jest

\begin{aligned} h (t) & = F^{- 1} {H (f)} \\ = \frac{1}{T} sinc (\frac{t}{T}) \end{aligned}

$\begin{align} h(t) & = \mathcal{F}^{-1} \left\{ H(f) \right\} \\ & = \frac1T \operatorname{sinc}\left( \frac{t}{T} \right) \\ \end{align}$

zrekonstruowany $x(t)$ jest

x (t) = h (t) ⊛ x_{s} (t)

$x(t) = h(t) \circledast x_\text{s}(t)$

wyraźnie nie zdajemy sobie sprawy z tego filtra rekonstrukcji, ponieważ nie jest on przyczynowy. ale z wystarczającym opóźnieniem możemy być w stanie zbliżyć się do siebie z opóźnionym przyczynem $h(t)$ .

teraz praktyczny przetwornik cyfrowo-analogowy nie zbliża się szczególnie blisko, ale ponieważ po prostu generuje wartość próbki $x[n]$ dla okresu próbkowania bezpośrednio po próbce, wyjście DAC wygląda następująco

x_{DAC} (t) = \sum_{n = - \infty}^{\infty} x [n] rect (\frac{t - n T - \frac{T}{2}}{T})

$x_\text{DAC}(t) = \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} x[n] \ \operatorname{rect}\left( \frac{t - nT - \tfrac{T}2}{T} \right)$

i może być modelowany jako filtr z odpowiedzią impulsową

h_{ZOH} (t) = \frac{1}{T} rect (\frac{t - \frac{T}{2}}{T})

$h_\text{ZOH}(t) = \frac1T \operatorname{rect}\left( \frac{t-\tfrac{T}2}{T} \right)$

napędzany przez to samo $x_\text{s}(t)$ . więc

x_{DAC} (t) = h_{ZOH} (t) ⊛ x_{s} (t)

$x_\text{DAC}(t) = h_\text{ZOH}(t) \circledast x_\text{s}(t)$

a odpowiedź częstotliwościowa domyślnego filtra rekonstrukcyjnego wynosi

\begin{aligned} H_{ZOH} (f) & = F^{- 1} {h_{ZOH} (t)} \\ = \frac{1 - e^{j 2 π f T}}{j 2 π f T} \\ = e^{j π f T} sinc (f T) \end{aligned}

$\begin{align} H_\text{ZOH}(f) &= \mathcal{F}^{-1}\{ h_\text{ZOH}(t) \} \\ &= \frac{1 - e^{j 2 \pi f T}}{j 2 \pi f T} \\ &= e^{j \pi f T} \operatorname{sinc}(fT) \\ \end{align}$

zwróć uwagę na stałe opóźnienie połowy próbki w tej odpowiedzi częstotliwościowej. to gdzie trzymać zerowego rzędu pochodzi.

tak więc, podczas gdy ZOH ma taki sam zysk DC jak idealna rekonstrukcja ściany, ale nie taki sam zysk na innych częstotliwościach. dodatkowo obrazy w $x_\text{s}(t)$ nie są w pełni pobici, jak w przypadku ściany z cegły, ale są trochę pobici.

więc dlaczego w POV w dziedzinie czasu tak jest? myślę, że to z powodu nieciągłości w $x_\text{DAC}(t)$ . nie jest tak źle, jak suma impulsów diraca $x_\text{s}(t)$ , ale $x_\text{DAC}(t)$ ma nieciągłości skoków.

jak pozbyć się nieciągłości skoków? może zamienią je w nieciągłości pierwszej pochodnej. i robisz to przy użyciu, jeśli integracja w ciągłej dziedzinie czasu. tak więc wstrzymanie pierwszego rzędu to takie, w którym wyjście przetwornika cyfrowo-analogowego jest prowadzone przez integrator z funkcją przesyłania $\frac{1}{j 2 \pi f T}$ ale staramy się cofnąć działanie integratora za pomocą elementu różnicującego wykonanego w domenie czasu dyskretnego. wyjście tego różnicowego czasu dyskretnego wynosi $x[n] - x[n-1]$ lub Z-transform $X(z) - z^{-1}X(z) = X(z)(1 - z^{-1})$

funkcją przenoszenia tego wyróżnika jest $(1 - z^{-1})$ lub w ciągłej domenie Fouriera $(1 - (e^{j 2 \pi f T})^{-1}) = 1 - (e^{-j 2 \pi f T})$ . powoduje to, że mnożona jest funkcja przenoszenia funkcji pierwszego rzędu integratora ciągłego czasu, różnicnika dyskretnego i ZOH przetwornika cyfrowo-analogowego.

\begin{aligned} {H.}_{FOH} (fa) & = {fa}^{- 1} {h_{FOH} (t)} \\ = {(\frac{1 - {mi}^{jot 2) π fa T.}}{jot 2) π fa T.})}^{2)} \\ = {mi}^{jot 2) π fa T.} {sinc}^{2)} (fa T.) \end{aligned}

$\begin{align} H_\text{FOH}(f) &= \mathcal{F}^{-1}\{ h_\text{FOH}(t) \} \\ &= \left( \frac{1 - e^{j 2 \pi f T}}{j 2 \pi f T} \right)^2 \\ &= e^{j 2 \pi f T} \operatorname{sinc}^2(fT) \\ \end{align}$

odpowiedź impulsowa tego jest

\begin{aligned} h_{FOH} (t) & = F {H_{FOH} (f)} \\ = (rect (\frac{t - \frac{T}{2}}{T})) ⊛ (rect (\frac{t - \frac{T}{2}}{T})) \\ = \frac{1}{T} tri (\frac{t - T}{T}) \end{aligned}

$\begin{align} h_\text{FOH}(t) &= \mathcal{F}\{ H_\text{FOH}(f) \} \\ &= \left( \operatorname{rect}\left( \frac{t-\tfrac{T}{2}}{T}\right) \right) \circledast \left( \operatorname{rect}\left( \frac{t-\tfrac{T}{2}}{T}\right) \right) \\ &= \frac{1}{T} \operatorname{tri}\left( \frac{t-T}{T} \right) \\ \end{align}$

teraz, kontynuując to dalej, wstrzymanie drugiego rzędu będzie miało zarówno ciągłą zerę, jak i pierwsze pochodne. robi to, integrując się ponownie w dziedzinie czasu ciągłego i próbując nadrobić to w dziedzinie czasu dyskretnego innym wyróżnikiem. który wrzuca inny $e^{j \pi f T} \operatorname{sinc}(fT)$ czynnik, który oznacza połączenie z innym $\operatorname{rect}\left( \frac{t-\tfrac{T}{2}}{T}\right)$ .

Robert Bristol-Johnson
źródło

To w końcu zbiegnie się w odpowiedź impulsową Gaussa i nie mogę tego zrozumieć zbyt intuicyjnie. Mocno wierzę, że trzymanie n-tego rzędu jest - w całkowitej analogii z ZOH i FOH - interpolatorem wielomianowym n-tego rzędu. Podzielam ten pogląd z kilkoma innymi autorami: np. Tymi i tym . Nigdzie indziej nie widziałem twojej interpretacji n-tego rzędu.

Matt L.

bardzo długi gaussian. odpowiedź impulsowa an

n

$n$ -Trzymanie zamówienia będzie

n + 1

$n+1$ sąsiednie sekcje kawałek po kawałku

n

$n$ wielomianów rzędu trzeciego połączone w taki sposób, że wszystkie pochodne, aż do

(n - 1)

$(n-1)$ -ta pochodna będzie ciągła. i myślę, że to przyczynowo. BTW, jeszcze nie skończyłem odpowiedzi. Trochę się na tym zdołałem, ale w końcu planuję to wszystko połączyć. i naprawię całą gramatykę lotta

Robert Bristol-Johnson

2

Kolejne pytanie oznaczono jako duplikat tego. Tam zapytano również, co to jest chwyt wielokątny . To i blokada wielokąta wydają się być synonimami interpolacji liniowej, w której „kropki są połączone”, a nie wynik wygląda jak piła, jak w predykcyjnym wstrzymaniu pierwszego rzędu. Łączenie próbek z liniami wymaga wcześniejszej znajomości kolejnej próbki, aby linia mogła być skierowana we właściwym kierunku. W kontekście systemów sterowania w czasie rzeczywistym, w których próbki nie są znane z góry, oznacza to, że wyjście musi być opóźnione o jeden okres próbkowania, aby linie mogły połączyć się z próbkami.

Trzymanie wielomianowe (nie trzymanie wielokąta) obejmuje zarówno trzymanie zerowego rzędu, jak i trzymanie pierwszego rzędu.

Olli Niemitalo
źródło

Zero, First, Second… Hold n-tego rzędu

Odpowiedzi: