Symulowanie zbieżności prawdopodobieństwa do stałej

Wyniki asymptotyczne nie mogą być udowodnione za pomocą symulacji komputerowej, ponieważ są to stwierdzenia obejmujące pojęcie nieskończoności. Ale powinniśmy być w stanie uzyskać poczucie, że rzeczy rzeczywiście idą tak, jak mówi teoria.

Rozważ teoretyczny wynik

gdzie $X_n$ jest funkcją $n$ zmiennych losowych, powiedzmy identycznie i niezależnie rozmieszczonych. To mówi, że $X_n$ zbiega się w prawdopodobieństwie do zera. Wydaje mi się, że archetypowym przykładem jest przypadek, w którym $X_n$ jest średnią próbki minus wspólna oczekiwana wartość iidrv próbki,

PYTANIE: Jak moglibyśmy przekonująco pokazać komuś, że powyższa relacja „materializuje się w prawdziwym świecie”, wykorzystując wyniki symulacji komputerowej z koniecznie skończonych próbek?

Pamiętaj, że konkretnie wybrałem konwergencję na stałą .

Podaję poniżej moje podejście jako odpowiedź i mam nadzieję na lepsze.

AKTUALIZACJA: Niepokoiło mnie coś z tyłu głowy - i dowiedziałem się, co. Odkopałem starsze pytanie, w którym w komentarzach do jednej z odpowiedzi toczyła się najciekawsza dyskusja . Tam @Cardinal podał przykład estymatora, że ​​jest spójny, ale jego wariancja pozostaje niezerowa i skończona asymptotycznie. Tak więc trudniejszym wariantem mojego pytania jest: w jaki sposób wykazujemy poprzez symulację, że statystyka zbiega się w prawdopodobieństwie do stałej, kiedy ta statystyka zachowuje niezerową i skończoną wariancję asymptotycznie?

Myślę o jako funkcji dystrybucji (komplementarnej w konkretnym przypadku). Ponieważ chcę użyć symulacji komputerowej, aby wykazać, że rzeczy mają tendencję taką, jak mówi wynik teoretyczny, muszę zbudować funkcję rozkładu empirycznego, lub empiryczny względny rozkład częstotliwości, a następnie w jakiś sposób pokazują, że wraz ze wzrostem liczby wartości skoncentruj się „coraz bardziej” do zera. $P()$$|X_n|$$n$$|X_n|$

Aby uzyskać empiryczną funkcję częstotliwości względnej, potrzebuję (znacznie) więcej niż jednej próbki o rosnącym rozmiarze, ponieważ wraz ze wzrostem wielkości próbki rozkładzmiany dla każdego innego . $|X_n|$$n$

Muszę więc wygenerować z rozkładu , próbek „równolegle”, powiedzmy w tysiącach, każda o początkowej wielkości , powiedzmy w dziesiątkach tysięcy. Muszę wtedy obliczyć wartośćz każdej próbki (i dla tego samego ), tj. uzyskaj zestaw wartości .$Y_i$$m$$m$$n$$n$$|X_n|$$n$$\{|x_{1n}|, |x_{2n}|,...,|x_{mn}|\}$

Wartości tych można użyć do skonstruowania empirycznego względnego rozkładu częstotliwości. Wierząc w wynik teoretyczny, spodziewam się, że „dużo” wartościbędzie „bardzo blisko” do zera, ale oczywiście nie wszystkie. $|X_n|$

Aby pokazać, że wartościrzeczywiście maszerują w kierunku zera w coraz większej liczbie, musiałbym powtórzyć ten proces, zwiększając wielkość próbki do powiedzenia , i pokazać, że teraz stężenie do zera „wzrosło”. Oczywiście, aby pokazać, że wzrosła, należy podać wartość empiryczną dla .$|X_n|$$2n$$\epsilon$

Czy to wystarczy? Czy moglibyśmy w jakiś sposób sformalizować ten „wzrost koncentracji”? Czy ta procedura, jeśli jest wykonywana w większej liczbie etapów „zwiększania wielkości próby”, a jeden z nich jest bliższy drugiemu, może dostarczyć nam pewnych szacunków dotyczących faktycznego tempa konwergencji , tj. Czegoś w rodzaju „empirycznej masy prawdopodobieństwa, która porusza się poniżej progu na każdy krok "powiedzmy, tysiąc? $n$

Lub sprawdź wartość progu, dla którego, powiedzmy, % prawdopodobieństwa leży poniżej, i zobacz, jak ta wartość zmniejsza się w wartości?$90$$\epsilon$

PRZYKŁAD

Rozważmy jako i tak$Y_i$$U(0,1)$

Najpierw generujemy próbek o wielkości każda. Empiryczny względny rozkład częstotliwościwygląda jak $m=1,000$$n=10,000$$|X_{10,000}|$

i zauważamy, że % wartościsą mniejsze niż . $90.10$$|X_{10,000}|$$0.0046155$

Następnie zwiększam wielkość próbki do . Teraz empiryczny względny rozkład częstotliwościwygląda i zauważamy, że % wartościsą poniżej . Alternatywnie, teraz % wartości spada poniżej .$n=20,000$$|X_{20,000}|$$91.80$$|X_{20,000}|$$0.0037101$$98.00$$0.0045217$

Czy byłbyś przekonany taką demonstracją?