Obserwowano informacje Fishera w trakcie transformacji

9

Z „W całym prawdopodobieństwie: modelowanie statystyczne i wnioskowanie przy użyciu prawdopodobieństwa” Y. Pawitana, prawdopodobieństwo ponownej parametryzacji jest zdefiniowane jako więc jeśli g jest jeden do jednego, to L ^ * (\ psi) = L (g ^ {- 1} (\ psi)) (str. 45). Próbuję pokazać ćwiczenie 2.20, które stwierdza, że ​​jeśli \ theta jest skalarem (i zakładam, że g ma być również funkcją skalarną), to I ^ * (g (\ hat {\ theta})) = I ( \ hat {\ theta}) \ left | \ frac {\ czesciowy g (\ hat {\ theta})} {\ czesciowy \ hat {\ theta}} \ right | ^ {- 2}, gdzie I (\ theta) = - \ frac {\ czesciowy ^ 2} {\ czesciowy \ theta ^ 2} l (\ theta) θg(θ)=ψ

L(ψ)=max{θ:g(θ)=ψ}L(θ)
gL(ψ)=L(g1(ψ))θg
I(g(θ^))=I(θ^)|g(θ^)θ^|2,
I(θ)=2θ2l(θ)
to zaobserwowana informacja Fishera, a l(θ)=logL(θ) .

Jeśli g jest jeden do jednego, jest to proste przy użyciu reguły łańcuchowej i zasady niezmienniczości. Zastanawiam się tylko nad kilkoma rzeczami:

  1. Dlaczego nalega na napisanie wartości bezwzględnej? Można to pominąć, prawda?
  2. Przez g(θ^)θ^ ma na myśli funkcję \ frac {\ czesciowy g (\ theta)} {\ czesciowy \ theta}g(θ)θ oceniany na θ=θ^ , prawda? Jeśli tak jest, to czy nie jest to zły wybór notacji? Uważam, że zwykłym skrótem dla tego świata jest \ frac {\ stronny g (\ hat {\ theta})} {\ stronny \ theta}g(θ^)θ .
  3. Jak to pokazano, gdy g niekoniecznie jest jeden do jednego?
Stefan Hansen
źródło

Odpowiedzi:

4
  1. Wartość bezwzględna jest niepotrzebna. To może być tylko literówka.

  2. Masz rację. Jeszcze lepszym zapisem byłby dg(θ)dθ|θ=θ^ .

  3. To ogólnie nie obowiązuje. Napraw niektóre i zdefiniuj przez . RH byłby niezdefiniowany, ponieważ pochodna wynosi zero dla każdego .ψ0g:RRg(θ)=ψ0θ

Szkic zwykłego przypadku:

Dla gładkiego jeden do jednego pomocą . Ponieważ , mamy Dlatego też gψ=g(θ)d/dψ=dθ/dψd/dθ

I(ψ)=d2L(ψ)dψ2=ddψ(dL(ψ)dψ)=ddψ(dL(ψ)dθdθdψ)=d2L(ψ)dθ2(dθdψ)2dL(ψ)dθd2θdψ2dθdψ.
ja(sol(θ^))=-re2)L.(sol(θ^))reθ2)(reθreψ)2)-reL.(sol(θ^))reθre2)θreψ2)reθreψ=-re2)L.(sol-1(sol(θ^)))reθ2)(resol(θ)reθ|θ=sol-1(sol(θ^)))-2)-reL.(sol-1(sol(θ^)))reθre2)θreψ2)reθreψ=ja(θ^)(resol(θ)reθ|θ=θ^)-2),
w którym użyliśmy .reL.(sol-1(sol(θ^)))/reθ=reL.(θ^)/reθ=0
Zen
źródło
1
Dziękuję za zajęcie się wszystkimi moimi wątpliwościami i za ten prosty kontrprzykład ze stałym . Twój szkic zwykłego przypadku jest podobny do tego, co zrobiłem, więc wszystko jest dobre. Dzięki. sol
Stefan Hansen