Kiedy, jeśli kiedykolwiek, mediana statystyki jest wystarczającą statystyką?

Natknąłem się na uwagę w The Chemical Statistician, że mediana próbki może być często wyborem wystarczającej statystyki, ale poza oczywistym przypadkiem jednej lub dwóch obserwacji, w których jest równa średniej próbki, nie mogę wymyślić innej nietrywialnej i iid przypadek, w którym mediana próbki jest wystarczająca.

W przypadku, gdy poparcie rozkładu nie zależy od nieznanego parametru θ, możemy przywołać twierdzenie Pitmana-Koopmana (Fréchet-Darmois-) , a mianowicie, że gęstość obserwacji jest koniecznie wykładniczej postaci rodziny, aby stwierdzić, że ponieważ naturalna wystarczająca statystyka S = n ∑ i = 1 T ( x i ) jest również wystarczająca minimalna, to mediana powinna być funkcją

$$\exp\{ \theta T(x) - \psi(\theta) \}h(x)$$ $$S=\sum_{i=1}^n T(x_i)$$ $S$ , co jest niemożliwe: modyfikacja ekstremum w obserwacjach , n > 2 , modyfikuje S, ale nie modyfikuje mediany.$x_1,\ldots,x_n$$n>2$$S$

$$f(x|\theta) = h(x) \mathbb{I}_{A_\theta}(x) \tau(\theta)$$ $A_\theta$$f$ $$\prod_{i=1}^n \mathbb{I}_{A_\theta}(x_i)$$ $$\prod_{i=1}^n \mathbb{I}_{A_\theta}(x_i) = \mathbb{I}_{B^n_\theta}(\text{med}(x_{1:n}))$$ $x_{n+1}$ $$\mathbb{I}_{B^{n+1}_\theta}(\text{med}(x_{1:n+1}))=\mathbb{I}_{B^n_\theta}(\text{med}(x_{1:n}))\times \mathbb{I}_{A_\theta}(x_{n+1})$$