Dlaczego ceny akcji są logarytmiczne, a zwroty akcji są normalne

Z wyjątkiem faktu, że zwroty mogą być ujemne, podczas gdy ceny muszą być dodatnie, czy jest jakiś inny powód, dla którego modelowanie cen akcji jest logarytmicznym rozkładem normalnym, ale modelowanie zapasów jest normalne?

Kilka punktów na początek:

i) te konwencje dystrybucyjne są w najlepszym razie przybliżone. Mogą to być wygodne modele, ale nie powinniśmy mylić tego z faktycznym rozkładem cen akcji lub zwrotów.

ii) ceny akcji zwykle rosną (ale w każdym razie mają zmieniającą się średnią; średnia nie jest stabilna). Kiedy więc mówimy o rozkładzie cen akcji, zwykle nie mówimy o ich rozkładzie krańcowym, ale o rozkład warunkowy . Często więc mamy na myśli, że coś bardziej podobnego do tego, że jest w przybliżeniu logarytmiczne ze średnią zmieniającą się za pomocą (konkretnie, warunkowo logarytmiczne, uwarunkowane pewną wcześniejszą wartością i czasem, który upłynął). Również wariancja może się zmienić, w którym to przypadku zarówno warunek średni, jak i wariacyjny dla poprzedniej wartości i czasu. Na przykład przez „ceny akcji są w przybliżeniu logarytmiczne” moglibyśmy rozumieć $y_t$$t$$y_t/y_{t-1} \, \dot{\sim}\, \log N(\mu_\text{daily},\sigma^2_\text{daily})$lub równoważnie$y_t \, \dot{\sim}\, \log N(\log(y_{t-1})+\mu_\text{daily},\sigma^2_\text{daily})$

iii) Należy zauważyć, że dla małego , .$x$$\log(1+x)\approx x$

W przypadku zwrotów krótkoterminowych, takich jak zwroty dzienne, ogólnie jest dość mały, zwykle rzędu 0,01 - lub często mniej - w wartości bezwzględnej.$\frac{y_{t}-y_{t-1}}{y_{t-1}}$

Kiedy ten stosunek jest mały,$\log(y_t)-\log(y_{t-1})=\log(\frac{y_t}{y_{t-1}})\approx \frac{y_t}{y_{t-1}}-1=\frac{y_t-y_{t-1}}{y_{t-1}}$

Oznacza to, że zwrot jest w przybliżeniu zmianą ceny akcji w dzienniku (spróbuj z rzeczywistymi cenami akcji i zobacz, że są prawie identyczne).

Więc jeśli

$$y_t \, \dot{\sim} \, \log N(\log(y_{t-1})+\mu_\text{daily},\sigma^2_\text{daily})$$

co implikuje

$$\log(y_t) \, \dot{\sim} \, N(\log(y_{t-1})+\mu_\text{daily},\sigma^2_\text{daily})$$

następnie

$$\frac{y_t-y_{t-1}}{y_{t-1}}\approx \log(y_t)-\log(y_{t-1})\,\dot{\sim}\,N(\mu_\text{daily},\sigma^2_\text{daily})$$