Dlaczego kurtoza rozkładu normalnego wynosi 3 zamiast 0

Co należy rozumieć przez stwierdzenie, że kurtoza rozkładu normalnego wynosi 3. Czy oznacza to, że na linii poziomej wartość 3 odpowiada prawdopodobieństwu szczytowemu, tj. 3 jest trybem systemu?

Kiedy patrzę na normalną krzywą, wydaje się, że szczyt występuje w środku, czyli równy 0. Więc dlaczego kurtoza nie jest 0, a zamiast 3?

Kurtosis z pewnością nie jest miejscem, w którym znajduje się szczyt. Jak mówisz, jest to już tryb.

Kurtosis jest znormalizowanym czwartym momentem: jeśli , jest znormalizowaną wersją zmiennej, na którą patrzymy, to kurtoza populacji jest średnią czwartą potęgą tej znormalizowanej zmiennej; . Próbka kurtozy jest odpowiednio powiązana ze średnią czwartą siłą znormalizowanego zestawu wartości próbek (w niektórych przypadkach jest skalowana o współczynnik, który w dużych próbkach sięga 1). E(Z4$Z=\frac{X-\mu}{\sigma}$$E(Z^4)$

Jak zauważasz, czwarty znormalizowany moment wynosi 3 w przypadku normalnej zmiennej losowej. Jak zauważa Alecos w komentarzach, niektórzy ludzie definiują kurtozę jako ; jest to czasami nazywane nadmierną kurtozą (jest to także czwarty kumulant). Widząc słowo „kurtoza”, należy pamiętać o możliwości, że różni ludzie używają tego samego słowa w odniesieniu do dwóch różnych (ale blisko spokrewnionych) wielkości.$E(Z^4)-3$

Kurtoza jest zwykle opisywana jako szczytowość * (powiedzmy, jak ostro zakrzywiony jest szczyt - co było prawdopodobnie zamiarem wybrania słowa „kurtoza”) lub nadmierna ogonowość (często to, co ludzie są zainteresowani użyciem go do pomiaru), ale w faktyczny fakt, zwykle czwarty znormalizowany moment nie do końca mierzy jedną z tych rzeczy.

Rzeczywiście, pierwszy tom Kendall i Stuart podaje kontrprzykłady, które pokazują, że wyższa kurtoza niekoniecznie wiąże się z wyższym szczytem (w zmiennej standardowej) lub grubszym ogonem (w podobny sposób, że trzeci moment nie do końca mierzy to, co wielu ludzi myślę, że tak).

Jednak w wielu sytuacjach istnieje pewna tendencja do kojarzenia się z obydwoma, w tym, że większe szczyty i ciężkie ogony często pojawiają się, gdy kurtoza jest wyższa - powinniśmy po prostu wystrzegać się, że tak jest koniecznie.

Kurtoza i skośność są silnie powiązane (kurtoza musi być co najmniej o 1 większa od kwadratu skośności; interpretacja kurtozy jest nieco łatwiejsza, gdy rozkład jest prawie symetryczny.

Darlington (1970) i ​​Moors (1986) wykazali, że miarą kurtozy w czwartym momencie jest zmienność „ramion” - , a Balanda i MacGillivray (1988) sugerują myślenie o niej w mglistych terminach związanych z ten sens (i rozważ kilka innych sposobów jego pomiaru). Jeśli rozkład jest ściśle skoncentrowany na , wtedy kurtoza jest (koniecznie) mała, podczas gdy rozkład jest rozłożony z dala od (co będzie miało tendencję do jednoczesnego gromadzenia się na środku i przenieść prawdopodobieństwo do ogonów, aby oderwać je od ramion), kurtoza w czwartym momencie będzie duża.μ ± σ μ ± $\mu\pm\sigma$$\mu\pm\sigma$$\mu\pm\sigma$

De Carlo (1997) to rozsądne miejsce (po bardziej podstawowych zasobach, takich jak Wikipedia) do czytania o kurtozie.

Edycja: Od czasu do czasu widzę pytania, czy wyższa szczytowość (wartości bliskie 0) może w ogóle wpłynąć na kurtozę. Odpowiedź brzmi: tak, zdecydowanie może. Tak jest w przypadku, gdy jest to czwarty moment znormalizowanej zmiennej - aby zwiększyć czwarty moment znormalizowanej zmiennej, musisz zwiększyć , utrzymując stałą . Oznacza to, że ruchowi prawdopodobieństwa w głąb ogona musi towarzyszyć trochę dalej (wewnątrz ); i vice versa - jeśli przyłożysz większą wagę do środka, utrzymując wariancję na 1, również umieścisz trochę w ogonie.E ( Z 2 ) ( - 1 , 1 $E(Z^4)$$E(Z^2)$ $(-1,1)$

[Uwaga: jak wspomniano w komentarzach, jest to nieprawidłowe jako ogólne oświadczenie; wymagane jest nieco inne stwierdzenie.]

Ten efekt utrzymywania stałej wariancji jest bezpośrednio związany z dyskusją o kurtozie jako „wariacji na temat ramion” w pracach Darlington i Maurów. Rezultatem nie jest jakieś proste rozumowanie, ale zwykła matematyczna równoważność - nie można utrzymywać, że jest inaczej bez fałszywej interpretacji kurtozy.

Teraz możliwe jest zwiększenie prawdopodobieństwa wewnątrz bez podnoszenia piku. Podobnie możliwe jest zwiększenie prawdopodobieństwa na zewnątrz bez konieczności zwiększania ciężkości odległego ogona (powiedzmy, na przykład przez typowy wskaźnik ogona). Oznacza to, że całkiem możliwe jest podniesienie kurtozy podczas rozjaśniania ogona (np. Mając jaśniejszy ogon powyżej 2 sds po obu stronach średniej, powiedzmy).( - 1 , 1 $(-1,1)$$(-1,1)$

[Moje włączenie Kendalla i Stuarta do referencji wynika z tego, że ich dyskusja na temat kurtozy jest również istotna w tym punkcie]

Co więc możemy powiedzieć? Kurtoza jest często kojarzona z wyższym szczytem i cięższym ogonem, bez konieczności występowania więdnięcia. Z pewnością łatwiej jest podnieść kurtozę, grając ogonem (ponieważ można uzyskać więcej niż 1 sd), a następnie dostosowując środek, aby utrzymać stałą wariancję, ale to nie znaczy, że szczyt nie ma wpływu; z pewnością tak jest i można manipulować kurtozą, skupiając się na niej. Kurtoza jest w dużej mierze, ale nie tylko związana z ciężkością ogona - ponownie spójrz na zmienność wyników ramion; jeśli cokolwiek, na co patrzy kurtoza, w nieuniknionym sensie matematycznym.

Bibliografia

Balanda, KP i MacGillivray, HL (1988),
„Kurtosis: krytyczna recenzja”.
American Statistician 42 , 111-119.

Darlington, Richard B. (1970),
„Czy Kurtosis naprawdę” Peakedness? ”.
American Statistician 24 , 19-22.

Moors, JJA (1986),
„Ponowne zbadanie znaczenia kurtosis: Darlington”.
American Statistician 40 , 283-284.

DeCarlo, LT (1997),
„O znaczeniu i zastosowaniu kurtozy”.
Psychol. Methods, 2 , 292-307.

Kendall, MG, i A. Stuart,
The Advanced Theory of Statistics ,
t. 1, 3. edycja.
(nowsze wersje mają Stuart i Ord)

Oto bezpośrednia wizualizacja, aby zrozumieć, co odnosi się liczba „3” w odniesieniu do kurtozy rozkładu normalnego.

Niech będzie normalnie rozłożone i niech . Niech . Rozważ wykres pdf , . Ta krzywa znajduje się na prawo od zera i rozciąga się do nieskończoności, z kwantem 0.999 117,2, ale znaczna część masy jest bliska zeru; np. 68% mniej niż 1,0.$X$$Z = (X-\mu)/\sigma$$V = Z^4$$V$$p_V(v)$

Średnia tego rozkładu to kurtoza. Częstym sposobem rozumienia średniej jest „punkt równowagi” na wykresie pdf. Jeśli jest normalne, krzywa równoważy się przy 3,0.$X$$p_V(v)$

Ta reprezentacja wyjaśnia również, dlaczego kurtoza mierzy ciężkość ogonów rozkładu. Jeśli jest nienormalny, krzywa „opada w prawo”, gdy kurtoza jest większa niż 3,0, a zatem w tym przypadku gęstość można powiedzieć „cięższe niż rozkład normalny. „ Podobnie, krzywa „spada w lewo”, gdy kurtoza jest mniejsza niż 3,0, a zatem w tym przypadku gęstość można powiedzieć, że „jest lżejsza niż rozkład normalny”. $X$$p_V(v)$$X$$p_V(v)$$X$

Powszechnie uważa się, że wyższa kurtoza odnosi się do większej masy w pobliżu centrum (tj. Więcej masy w pobliżu 0 w pliku pdf ). Chociaż w wielu przypadkach jest to prawdą, to oczywiście nie (prawdopodobnie zwiększona) masa w pobliżu zera powoduje, że wykres „spada w prawo” w przypadku wysokiej kurtozy. Zamiast tego jest to dźwignia ogona.$p_V(v)$

Z tego punktu widzenia zasadniczo poprawną interpretację kurtozy „ciężaru ogona” można bardziej szczegółowo scharakteryzować jako „dźwignię ogona”, aby uniknąć pomylenia „zwiększonej masy ogona” ze „zwiększoną masą ogona”. W końcu możliwe jest, że wyższa kurtoza odpowiada mniejszej masie w ogonie, ale tam, gdzie ta zmniejszona masa zajmuje bardziej odległe miejsce.

„Daj mi miejsce, aby stanąć, a ja poruszę ziemię”. -Archimedes