Intuicja dla wyższych momentów w statystykach kołowych

13

W statystykach kołowych wartość oczekiwaną zmiennej losowej o wartościach w kole S definiuje się jako m 1 ( Z ) = S z P Z ( θ ) d θ (patrz wikipedia ). Jest to bardzo naturalna definicja, podobnie jak definicja wariancji V a r ( Z ) = 1 - | m 1 ( Z ) | . Nie potrzebowaliśmy więc drugiego momentu, aby zdefiniować wariancję!ZS

m1(Z)=SzPZ(θ)dθ
Var(Z)=1|m1(Z)|.

Niemniej jednak definiujemy wyższe momenty Przyznaję, że na pierwszy rzut oka wygląda to dość naturalnie i jest bardzo podobne do definicji w statystyce liniowej. Ale nadal czuję się trochę nieswojo i mam następujące zdanie

mn(Z)=SznPZ(θ)dθ.

Pytania:

1. Co mierzy się w wyższych momentach określonych powyżej (intuicyjnie)? Jakie właściwości rozkładu charakteryzują ich momenty?

2. W obliczeniach wyższych momentów używamy mnożenia liczb zespolonych, chociaż myślimy o wartościach naszych zmiennych losowych jedynie jako wektory w płaszczyźnie lub jako kąty. Wiem, że mnożenie złożone jest w tym przypadku zasadniczo dodawaniem kątów, ale nadal: Dlaczego mnożenie złożone jest znaczącą operacją dla danych cyklicznych?

Rasmus
źródło

Odpowiedzi:

8

PZZ1Z[0,2π)

Jeśli chodzi o twoje drugie pytanie, myślę, że już odpowiedziałeś: „mnożenie złożone jest w tym przypadku zasadniczo dodawaniem kątów”.

Mark Meckes
źródło
Dziękuję, to jest naprawdę pomocne. (Wstyd mi, że nie rozpoznałem serii Fouriera, nawet gdy pędzę w jej kierunku ...)
Rasmus
Czy to oznacza, że ​​momenty rozkładu kołowego należy porównywać raczej z funkcją charakterystyczną rozkładu liniowego niż z jego momentami?
Rasmus
@Rasmus: Myślę, że zależy to dokładnie od tego, co chcesz zrobić z informacjami, ale ogólnie powiedziałbym, że tak.
Mark Meckes,