Powiedzmy, że mam dwie standardowe normalne losowe zmienne i które są wspólnie normalne ze współczynnikiem korelacji .X 2 r
Jaka jest funkcja dystrybucji ?
Powiedzmy, że mam dwie standardowe normalne losowe zmienne i które są wspólnie normalne ze współczynnikiem korelacji .X 2 r
Jaka jest funkcja dystrybucji ?
Odpowiedzi:
Według Nadarajah i Kotza, 2008 , Dokładny rozkład maksymalnej / minimalnej dwóch zmiennych losowych Gaussa wydaje się , że plik PDFX= maks. ( X1, X2))
gdzie to PDF, a to CDF standardowego rozkładu normalnego.Φϕ Φ
źródło
Niech będzie dwuwymiarowym normalnym plikiem PDF dla ze standardowymi marginesami i korelacją . CDF maksimum jest z definicji ( X , Y ) ρfaρ ( X, Y) ρ
Dwuwymiarowy normalny PDF jest symetryczny (poprzez odbicie) wokół przekątnej. Zatem zwiększenie od do dodaje dwa paski o równoważnym prawdopodobieństwie do pierwotnego kwadratu częściowo nieskończonego: nieskończenie gruby górny kwadrat to podczas gdy jego odzwierciedlonym odpowiednikiem jest pasek po prawej stronie to .z + d z ( - ∞ , z ] × ( z , z + d z ] ( z , z + d z ] × ( - ∞ , z ]z z+ dz ( - ∞ , z] × ( z, z+ dz] ( z, z+ dz] × ( - ∞ , z]
Gęstość prawdopodobieństwa prawego paska to gęstość w całkowitego prawdopodobieństwa warunkowego, że jest w pasku, . Rozkład warunkowy jest zawsze Normalny, więc aby znaleźć to całkowite prawdopodobieństwo warunkowe, potrzebujemy tylko średniej i wariancji. Średnia warunkowa w jest prognozą regresji a wariancja warunkowa jest "niewyjaśnioną" wariancją .z Y Pr ( Y ≤ zX z Y Y Y X ρ X var ( Y ) - var ( ρ X ) = 1 - ρ 2Pr ( Y≤ z|X= z) Y Y X ρ X var ( Y) - var ( ρ X) = 1 - ρ2)
Teraz, gdy wiemy warunkowego średniej i wariancji, warunkowego CDF danego można uzyskać poprzez standaryzację i stosując standardowy Normalny CDF :Y X Y Φ
Oszacowanie tego przy i oraz pomnożenie przez gęstość przy (standardowy Normalny pdf ) daje gęstość prawdopodobieństwa drugiego (prawego) paskay= z X= z X z ϕ
Podwojenie tego odpowiada górnemu paskowi, który jest prawdopodobny, dając PDF maksimum jako
Podsumowanie
Pokolorowałem czynniki, aby zaznaczyć ich pochodzenie: dla dwóch symetrycznych pasków; dla nieskończenie małych szerokości paska; i dla długości pasków. Argument tego ostatniego, , jest po prostu standardową wersją uwarunkowaną .ϕ ( z ) Φ ( ⋯ ) 1 - ρ2) ϕ ( z) Φ ( ⋯ ) Y=zX=z1 - ρ1 - ρ2)√z Y= z X= z
źródło