gdy jest zmienną ciągłą

14

Wiem, że dla zmiennej ciągłej .P[X=x]=0

Ale nie mogę sobie wyobrazić, że jeśli , istnieje nieskończona liczba możliwych . A także dlaczego ich prawdopodobieństwa stają się nieskończenie małe?xP.[X=x]=0x

czas
źródło
2
Istnieją już dwa głosy, aby zamknąć to pytanie jako duplikat. Nie zgadzam się Jest to dość podstawowy temat, jeden z tych, który prawdopodobnie pojawi się ponownie w przyszłości, więc dobrze byłoby, gdyby miał bezpośrednią i wysokiej jakości odpowiedź, abyśmy mogli się do niego odwoływać w przyszłości. Link podany przez @ Xi'an może być traktowany jako duplikat, ale jest również dość konkretny i trudny do znalezienia za pomocą wyszukiwania. Link nie zapewnia również wyczerpującej odpowiedzi, podczas gdy zagrożenie to wydaje się do niego zbliżać. Myślę, że należy to pozostawić otwarte jako odniesienie w przyszłości.
Tim
Pomocne może być rozważenie odwrotności tej sytuacji. Niech będzie dowolną zmienną losową, a dowolną dodatnią liczbą rzeczywistą. Może istnieć tylko skończona liczba dla której , w przeciwnym razie - sumując wszystkie te prawdopodobieństwa w odniesieniu do zdarzeń rozłącznych - doszedłbyś do wniosku, że całkowite prawdopodobieństwo wynosi co najmniej \ epsilon + \ epsilon + \ cdots , który ostatecznie przekracza 1 . (Jest to właściwość liczb rzeczywistych Archimedesa .) W tym rozumowaniu stosowane są tylko trzy aksjomaty : dodawane są prawdopodobieństwa zdarzeń rozłącznych, całkowite prawdopodobieństwo wynosi 1 , a aksjomat Archimedesa.Xω Pr ( X = ω ) ϵ ϵ + ϵ + 1ϵωPar(X=ω)ϵϵ+ϵ+11
whuber
1
@Tim Dziękuję, ale zamieściłem tę myśl jako komentarz, a nie odpowiedź, ponieważ jest niekompletna: nie wymyśliłem elementarnego sposobu wyjaśnienia tego, co dzieje się w limicie jako ϵ0 . Wydaje się, że wymaga pewnej wiedzy na temat liczności zbiorów nieskończonych.
whuber
3
@ Xi'an Zgadzam się, ale zaproponowany przez Ciebie wątek nie jest wystarczająco ścisłym duplikatem. To jest trudne do znalezienia. Czy być może znasz inne wątki, które duplikują to pytanie?
whuber

Odpowiedzi:

14

Prawdopodobieństwa są modelami względnych częstotliwości obserwacji. Jeśli zaobserwuje się, że zdarzenie wystąpiło razy w próbach, wówczas jego częstotliwość względna wynosi i ogólnie uważa się, że wartość liczbowa powyższy stosunek jest zbliżony do gdy jest „duży”, gdzie to, co oznacza „duży”, najlepiej pozostawić wyobraźni (i łatwowierności) czytelnika.N A N częstotliwość względna  ( A ) = N AZAN.ZAN. P(A)N

częstotliwość względna wynosząca (ZA)=N.ZAN.
P.(ZA) N.

Zauważono, że jeśli nasz model jest ciągłą zmienną losową, wówczas próbki są różnymi liczbami. Zatem częstotliwość względna określonej liczby (lub, bardziej pedantycznie, zdarzenia ) wynosi albo jeśli jeden z ma wartość , albo jeśli wszystkie są różne z . Jeśli bardziej sceptyczny czytelnik zbierze dodatkowe próbek, względna częstotliwość zdarzenia wynosi alboX { x 1 , x 2 , , x N } N xXX {x1,x2),,xN.}N.x1{X=x} xi1N.xja0x xixN{0N.xjaxN.1{X=x} 012)N. lub nadal cieszy się wartością . W ten sposób można się domyślić, że należy przypisać wartość ponieważ jest to dobre przybliżenie obserwowanej częstotliwości względnej. P{X=x}0N.P.{X=x}0

Uwaga: powyższe wyjaśnienie jest (zwykle) satysfakcjonujące dla inżynierów i innych zainteresowanych zastosowaniem prawdopodobieństwa i statystyki (tj. Tych, którzy uważają, że aksjomaty prawdopodobieństwa zostały wybrane tak, aby uczynić teorię dobrym modelem rzeczywistości), ale całkowicie niezadowalające dla wielu innych. Można również podejść do pytania z czysto matematycznego lub statystycznego punktu widzenia i udowodnić, że musi mieć wartość ilekroć jest ciągłą zmienną losową, poprzez logiczne wnioski z aksjomatów prawdopodobieństwa i bez żadnego odniesienia do względnej częstotliwości lub obserwacji fizycznych itp.0 XP.{X=x} 0X

Dilip Sarwate
źródło
1
+1 „Uwaga: powyższe wyjaśnienie jest ... zadowalające dla ... tych, którzy uważają, że aksjomaty prawdopodobieństwa zostały wybrane, aby uczynić teorię dobrym modelem rzeczywistości), ale całkowicie niezadowalające ...”, w preferowane frazowanie internetowe, lol.
Gung - Przywróć Monikę
2
Nie rozumiem co masz na myśli przez to zaobserwowano, że jeśli jest ciągła, to ...X . Jak możemy to zaobserwować?
Stéphane Laurent,
3
@ StéphaneLaurent To zdanie jest trochę skomplikowane, dlatego należy je ponownie przeczytać. Pozbawiony niektórych nawiasów, mówi: „zaobserwowano, że… próbki… są różnymi liczbami”. Innymi słowy, gdy ktoś zakłada, że ma rozkład ciągły , to (prawie na pewno) nie będzie duplikatów w dowolnej skończonej IID próbki . Można to udowodnić matematycznie: nie jest to zwykła obserwacja. X XN.XX
whuber
2
@ StéphaneLaurent Myślę, że uwagi Dilipa są przedstawiane w innym duchu. Ta odpowiedź nie jest próbą dostarczenia matematycznie rygorystycznej demonstracji, ale zapewnia intuicję i motywację do faktu, który zastanawia OP. Intryguje mnie to podejście, ponieważ ma taki potencjał, aby wypełnić lukę między dyskretną teorią prawdopodobieństwa tradycyjnie nauczaną dla początkujących a bogatszą ogólną teorią prawdopodobieństwa opartą na teorii miary.
whuber
2
@ whuber Rozumiem ducha, ale na pierwszy rzut oka nie byłem przekonany, że właściwość no-ties jest bardziej intuicyjna niż właściwość zerowego prawdopodobieństwa. W przypadku jest to w rzeczywistości to samo: „ ” . x 2  nigdy nie jest  x 1N=2x2 is never x1 Pr(X2=x1)=0
Stéphane Laurent,
13

Niech będzie podstawową przestrzenią prawdopodobieństwa. Mówimy, że mierzalna funkcja X : Ω R jest absolutnie ciągłą zmienną losową, jeśli miara prawdopodobieństwa μ X powyżej ( R , B ) określona przez μ X ( B ) = P { X B } , znana jako rozkład X , jest zdominowany przez miarę Lebesgue'a λ , w tym sensie, że dla każdego zestawu Borela B(Ω,fa,P.)X:ΩRμX(R,b)μX(b)=P.{Xb}Xλb, jeśli , to μ X ( B ) = 0 . W tym przypadku twierdzenie Radona-Nikodyma mówi nam, że istnieje mierzalne f X : RR , zdefiniowane prawie wszędzie równoważność, tak że μ X ( B ) = B f ( x )λ(b)=0μX(b)=0faX:RR . Niech B = { x 1 , x 2 , ... } być policzalny podzbiór R . Ponieważ λ jest policzalnie addytywne, λ ( B ) = λ ( i 1 { x i } ) = i 1 λ ( { x iμX(b)=bfa(x)reλ(x)b={x1,x2),}Rλ . Ale λ ( { x iλ(b)=λ(ja1{xja})=ja1λ({xja}) dla każdego n 1 . Ze względu na właściwość Archimedesa liczb rzeczywistych, ponieważ λ ( { x i } ) 0 , nierówność ( ) obowiązuje dla każdego n 1 wtedy i tylko wtedy, gdy λ ( { x i } ) = 0 , powodując, że λ ( B ) =

λ({xja})=λ(k1[xja,xja+1/k))λ([xja,xja+1/n))=1n,()
n1λ({xja})0()n1λ({xja})=0 . Z założonej absolutnej ciągłości X wynika, że μ Xλ(b)=0X .μX(b)=P.{Xb}=0
Zen
źródło
Ciągła zmienna losowa nie musi być absolutnie ciągła (nie może mieć gęstości).
Zhanxiong
1
Bujda. „Ciągła zmienna losowa” to nieformalna nazwa dla „zmiennej losowej, która jest absolutnie ciągła w odniesieniu do miary Lebesgue'a”. Dlatego Radon-Nikodym gwarantuje istnienie gęstości. Zmienna losowa o rozkładzie pojedynczym (np. Cantor) to inna sprawa. Wprowadzasz w błąd potencjalnych studentów swoim fałszywym komentarzem.
Zen,
Kiedy kogoś krytykujesz, pokaż cytowany cytat. Który podręcznik prawdopodobieństwa powiedział, że „ciągła zmienna losowa” jest nieformalną nazwą „zmiennej losowej, która jest absolutnie ciągła w odniesieniu do miary Lebesgue'a” ? Ponadto problem ten można rozwiązać bez wymagania gęstości , patrz mój dowód poniżej. X
Zhanxiong
Wikipedia nie zgadza się z tobą, @Solitary: „ Ciągły rozkład prawdopodobieństwa jest rozkładem prawdopodobieństwa, który ma funkcję gęstości prawdopodobieństwa. Matematycy nazywają taki rozkład również absolutnie ciągłym [...]”.
ameba
4

jest ciągłą zmienną losową, co oznacza, że ​​jej funkcja rozkładu F jest ciągła . Jest to jedyny warunek, jaki mamy, ale z którego możemy wywnioskować, że P ( X = x ) =XF .P(X=x)=0

W rzeczywistości przez ciągłość mamy F ( x ) = F ( x - ) dla każdego x R 1 , dlatego: P ( X = x ) = P ( X x ) - P ( X < x ) = F ( x ) - F ( x - ) = 0.FF(x)=F(x)xR1

P(X=x)=P(Xx)P(X<x)=F(x)F(x)=0.
Zhanxiong
źródło
Jeśli rozkład rv to Cantor, wówczas jego funkcja rozkładu jest ciągła, ale X jest pojedynczą zmienną losową; nie jest to ciągła zmienna losowa. XX
Zen
Mój przyjacielu, to może być kontrprzykład na twoją odpowiedź, a nie moją. Ponieważ istnieje taki ciągły rv w liczbie pojedynczej, konieczne jest rozróżnienie absolutnego ciągłego rv i pojedynczego ciągłego rv, chociaż wszystkie ich funkcje rozkładu są ciągłe. Wyrównanie ciągłego rv i absolutnego ciągłego rv jest niejednoznaczne.
Zhanxiong
To nie jest, ale nie usłyszysz, mój przyjacielu.
Zen
Nawiasem mówiąc, faktycznie „udowadniasz”, że jeśli dla każdego x , to P ( X = x ) = 0 dla każdego x . P.(X=x)=0xP.(X=x)=0x
Zen