Wiem, że dla zmiennej ciągłej .
Ale nie mogę sobie wyobrazić, że jeśli , istnieje nieskończona liczba możliwych . A także dlaczego ich prawdopodobieństwa stają się nieskończenie małe?x
Wiem, że dla zmiennej ciągłej .
Ale nie mogę sobie wyobrazić, że jeśli , istnieje nieskończona liczba możliwych . A także dlaczego ich prawdopodobieństwa stają się nieskończenie małe?x
Odpowiedzi:
Prawdopodobieństwa są modelami względnych częstotliwości obserwacji. Jeśli zaobserwuje się, że zdarzenie wystąpiło razy w próbach, wówczas jego częstotliwość względna wynosi i ogólnie uważa się, że wartość liczbowa powyższy stosunek jest zbliżony do gdy jest „duży”, gdzie to, co oznacza „duży”, najlepiej pozostawić wyobraźni (i łatwowierności) czytelnika.N A N częstotliwość względna ( A ) = N AZA N.ZA N. P(A)N
Zauważono, że jeśli nasz model jest ciągłą zmienną losową, wówczas próbki są różnymi liczbami. Zatem częstotliwość względna określonej liczby (lub, bardziej pedantycznie, zdarzenia ) wynosi albo jeśli jeden z ma wartość , albo jeśli wszystkie są różne z . Jeśli bardziej sceptyczny czytelnik zbierze dodatkowe próbek, względna częstotliwość zdarzenia wynosi alboX { x 1 , x 2 , … , x N } N xX X { x1, x2), … , XN.} N. x 1{ X= x } xi1N. xja 0x xixN{0N. xja x N. 1{ X= x } 012 N.
lub nadal cieszy się wartością . W ten sposób można się domyślić, że należy przypisać wartość ponieważ jest to dobre przybliżenie obserwowanej częstotliwości względnej. P{X=x}0N. P.{ X= x } 0
Uwaga: powyższe wyjaśnienie jest (zwykle) satysfakcjonujące dla inżynierów i innych zainteresowanych zastosowaniem prawdopodobieństwa i statystyki (tj. Tych, którzy uważają, że aksjomaty prawdopodobieństwa zostały wybrane tak, aby uczynić teorię dobrym modelem rzeczywistości), ale całkowicie niezadowalające dla wielu innych. Można również podejść do pytania z czysto matematycznego lub statystycznego punktu widzenia i udowodnić, że musi mieć wartość ilekroć jest ciągłą zmienną losową, poprzez logiczne wnioski z aksjomatów prawdopodobieństwa i bez żadnego odniesienia do względnej częstotliwości lub obserwacji fizycznych itp.0 XP.{ X= x }
0 X
źródło
Niech będzie podstawową przestrzenią prawdopodobieństwa. Mówimy, że mierzalna funkcja X : Ω → R jest absolutnie ciągłą zmienną losową, jeśli miara prawdopodobieństwa μ X powyżej ( R , B ) określona przez μ X ( B ) = P { X ∈ B } , znana jako rozkład X , jest zdominowany przez miarę Lebesgue'a λ , w tym sensie, że dla każdego zestawu Borela B( Ω , F, P) X: Ω → R μX ( R , B) μX( B ) = P.{ X∈ B } X λ b , jeśli , to μ X ( B ) = 0 . W tym przypadku twierdzenie Radona-Nikodyma mówi nam, że istnieje mierzalne f X : R → R , zdefiniowane prawie wszędzie równoważność, tak że μ X ( B ) = ∫ B f ( x )λ ( B ) = 0 μX( B ) = 0 faX: R → R . Niech B = { x 1 , x 2 , ... } być policzalny podzbiór R . Ponieważ λ jest policzalnie addytywne, λ ( B ) = λ ( ∪ i ≥ 1 { x i } ) = ∑ i ≥ 1 λ ( { x iμX( B ) = ∫bfa( x )reλ ( x ) B = { x1, x2), … } R λ . Ale
λ ( { x iλ ( B ) = λ ( ∪i ≥ 1{ xja} ) = ∑i ≥ 1λ ( { xja} )
dla każdego n ≥ 1 . Ze względu na właściwość Archimedesa liczb rzeczywistych, ponieważ λ ( { x i } ) ≥ 0 , nierówność ( ∗ ) obowiązuje dla każdego n ≥ 1 wtedy i tylko wtedy, gdy λ ( { x i } ) = 0 , powodując, że λ ( B ) =
źródło
jest ciągłą zmienną losową, co oznacza, że jej funkcja rozkładu F jest ciągła . Jest to jedyny warunek, jaki mamy, ale z którego możemy wywnioskować, że P ( X = x ) =X F .P(X=x)=0
W rzeczywistości przez ciągłość mamy F ( x ) = F ( x - ) dla każdego x ∈ R 1 , dlatego: P ( X = x ) = P ( X ≤ x ) - P ( X < x ) = F ( x ) - F ( x - ) = 0.F F(x)=F(x−) x∈R1
źródło