Jakie jest intuicyjne znaczenie zmiennej losowej definiowanej jako „sieć”?

W teorii prawdopodobieństwa nieujemna zmienna losowa $X$ jest nazywana siatką, jeśli istnieje tak że .$d \geq 0$$\sum_{n=0}^{\infty}P(X=nd) = 1$

Czy istnieje geometryczna interpretacja, dlaczego ta definicja nazywa się kratą?

Oznacza to, że $X$ jest dyskretny i istnieje pewien regularny odstęp między jego rozkładem; to znaczy, masa prawdopodobieństwa jest skoncentrowana na skończonym / policzalnym zbiorze punktów ${d, 2d, 3d, \dots}$ .

Zauważ, że nie wszystkie dyskretne rozkłady są sieciami. Np. Jeśli $X$ może przyjąć wartości $\{1, e, \pi, 5\}$ , nie jest to sieć, ponieważ nie ma takiego, że wszystkie wartości można wyrazić jako wielokrotności .$d$$d$

Ta terminologia łączy zmienną losową z koncepcjami teorii grup stosowanymi do badania symetrii geometrycznych. Dlatego możesz cieszyć się bardziej ogólnym połączeniem, które rozjaśni znaczenie i potencjalne zastosowania zmiennych losowych sieci.

tło

W matematyce „sieć” $\mathcal{L}$ jest dyskretną podgrupą grupy topologicznej $G$ ( zwykle przyjmuje się, że ma skończoną kowalencję ).

• „Dyskretny” oznacza, że ​​wokół każdego elementu znajduje się otwarty zbiór O g ⊂ L zawierający tylko sam g : O g ∪ L = { g } . Byłoby uczciwie myśleć L jak bycie „wzorzyste” lub „regular” rozmieszczenie punktów w G .$g\in\mathcal{L}$$\mathcal{O}_g\subset\mathcal{L}$$g$$\mathcal{O}_g\cup\mathcal{L}=\{g\}$$\mathcal{L}$$G$

• Grupa działa na L , „przesuwając punkty w L wokół w G ”, tworząc orbitę z każdego z nich. Podstawową domeną tego działania składa się z pojedynczego punktu w każdej orbicie. G można wyposażyć w miarę - miarę Haara - używaną do pomiaru rozmiarów lub objętości mierzalnych podgrup G w skali Borela . Można znaleźć mierzalną dziedzinę podstawową. Jej wielkość jest covolume z L . Kiedy jest skończony, możemy myśleć o G jako o kafelkach tej podstawowej domeny, a o elementach L o przesuwaniu kafelków.$G$$\mathcal{L}$$\mathcal{L}$$G$$G$$G$$\mathcal{L}$$G$$\mathcal{L}$

Każda para tych figurek koni morskich - gdzie jedna jest prawą stroną do góry, a druga do góry nogami - może być podstawową domeną dla widocznej wizualnie sieci na płaszczyźnie euklidesowej. MC Escher, Sea Horse (nr 11) .

$X$$(\mathbb{R}^n, {+})$$X$$\Pr(X\in\mathcal{L})=1$

Podanie

Grupa implikowana przez pytanie to addytywna grupa liczb rzeczywistych , o jej typowej (euklidesowej) topologii. Jako podgrupa kratownica musi zawierać . Samo to nie wystarczy, ponieważ iloraz ma nieskończoną objętość („volume” = „length” w tym przypadku 1D). Zatem istnieje co najmniej jeden niezerowy element . Wszystkie uprawnienia tego elementu muszą również należeć do podgrupy. Ponieważ operacja polega na dodawaniu , moc wynosi . Dlatego zawiera wszystkie całkowite wielokrotności$(\mathbb{R}, {+})$$\mathcal{L}$$0$$\mathbb{R}/\{0\}$$g\in\mathcal{L}$$n^\text{th}$$g$$ng$$\mathcal{L}$$g$ (w tym negatywne).

Jeśli istnieją dwa elementy które nie są potęgami, łatwo jest wykazać (używając odrobiny teorii liczb), że (1) wszystkie kombinacje n g + m h , dla n , m ∈ Z , są w korespondencji jeden-do-jednego z uporządkowanymi parami ( m , n ) i (2) te kombinacje są gęste w R , co oznaczałoby, że L nie jest dyskretny. Z tego łatwo jest wywnioskować, że wszystkie elementy w L są potęgami jednej liczby$h,g\in\mathcal{L}$$ng+mh$$n,m\in\mathbb{Z}$$(m,n)$$\mathbb{R}$$\mathcal{L}$$\mathcal{L}$ . $g$ To jestgeneratoremz .$\mathcal{L}$

(Analogiczny przedstawia argumentów, które ogrodzenia w musi n generatorów. Generatory akwareli Escher może być, na przykład, tłumaczenie dwóch jednostek w dół i translacji jeden zespół Downa i jednego zespołu do prawej, w przybliżeniu. )$(\mathbb{R}^n, {+})$$n$

W konsekwencji, odpowiadająca dowolnej losowej zmiennej kratowej o wartości rzeczywistej na ( R , + ) musi być generatorem g ≠ 0 , skąd$X$$(\mathbb{R}, {+})$$g\ne 0$

$$\sum_{n=0}^\infty \Pr(X=ng) \le \sum_{n=-\infty}^\infty \Pr(X=ng) = \Pr(X\in\mathcal{L}) = 1.$$

Definicję w pytaniu można zatem rozumieć jako nieujemną zmienną sieciową. Możemy również chcieć ustalić, że , ponieważ w przeciwnym razie X jest obsługiwany w podgrupie { 0 }, która, mając nieskończone kowalencje, nie jest siecią.$\Pr(X=0) \lt 1$$X$$\{0\}$

Uogólnienie

Dodatnie liczby rzeczywiste tworzą grupę multiplikatywną. Krata w tej grupie będzie miała postać L = { g $(\mathbb{R}^{+}, {\times})$ dla niektórych g > 0 . (Covolume tej sieci to | log ( g ) | .). Odpowiednio, dowolna zmienna losowa Y, dla której$\mathcal{L} = \{g^n\,|\,n\in\mathbb{Z}\}$$g \gt 0$$|\log(g)|$$Y$

$$\sum_{n=-\infty}^\infty \Pr(Y=g^n) = 1$$

można uznać za zmienną sieciową w tej grupie. Oczywiście byłby zmienną sieciową na ( R , + ) .$\log(Y)$$(\mathbb{R}, {+})$