Dlaczego supremum mostu Browna ma rozkład Kołmogorowa – Smirnowa?

Odpowiedzi:

13

nsupx|FnF|=supx|1ni=1nZi(x)|

gdzie Zi(x)=1XixE[1Xix]

według CLT masz Gn=1ni=1nZi(x)N(0,F(x)(1F(x)))

to jest intuicja ...

most Brownian ma wariancję t ( 1 - t ) http://en.wikipedia.org/wiki/Brownian_bridge zamień t na F ( x ) . To jest dla jednegoB(t)t(1t) tF(x) ...x

Należy również sprawdzić kowariancji i dlatego nadal jest łatwy do show (CLT), że dla ( ) ( G n ( x 1 ) , ... , G n ( x k ) ) ( B 1 , , B k ) gdzie ( B 1 , , B k ) to N ( 0 ,x1,,xk(Gn(x1),,Gn(xk))(B1,,Bk)(B1,,Bk) zN(0,Σ) , σ i j = min ( F ( x i ) , F ( x j ) ) - F ( x i ) F ( x j ) . Σ=(σij)σij=min(F(xi),F(xj))F(xi)F(xj)

Trudne jest to, aby pokazać, że rozkład suppremum limitu jest Supremum rozkładu limitu ... Zrozumienie, dlaczego tak się dzieje wymaga empirycznej teorii procesu, czytanie książek, takich jak Van der Waarta i Welner (nie łatwe) . Nazwa tego twierdzenia to Twierdzenie Donskera http://en.wikipedia.org/wiki/Donsker%27s_theorem ...

Robin Girard
źródło
Czy nie powinniśmy stosować CLT do wszystkich skończonych wymiarów brzeżnych?
Rasmus
poprosiłeś o intuicyjną odpowiedź :) również nie zawracam sobie głowy trudną częścią matematyczną, która ma pokazać, że zbieżność dla wszystkich t implikuje zbieżność (prawną) supremum ... czy chcesz, żebym ukończył odpowiedź ?
robin girard
Drogi Robin Girard, myślę, że twoja odpowiedź jest w porządku. Dziękuję Ci!
Rasmus
1
trudną częścią jest właściwie wykazanie słabej konwergencji. Zbieżność supremów wynika następnie bezpośrednio z twierdzenia o ciągłym odwzorowywaniu. Ten wynik można znaleźć w „Konwergencji miar prawdopodobieństwa” Billingsleya. Van der Vaart i Wellner dają bardziej ogólny wynik, a ich książka jest naprawdę, bardzo trudna :)
mpiktas
@robingirard Osobiście chciałbym zobaczyć „pełną odpowiedź” ze wszystkimi „trudnymi częściami matematycznymi”
StatsPlease
6

nf(x)=1niχ(,Xi](x) , w granicy nieskończonych danych, zbiegnie się do rozkładu leżącego u podstaw.

qx=q funkcja rozkładu empirycznego zwiększa się. Możemy na to patrzeć jak na losowy spacer, który jest ograniczony do rozpoczęcia i zakończenia prawdziwej funkcji rozkładu. Kiedy już to wiesz, przeszukujesz literaturę w poszukiwaniu ogromnej ilości informacji na temat losowych spacerów, aby dowiedzieć się, jakie jest największe oczekiwane odchylenie takiego spaceru.

pp=2p

użytkownik873
źródło