Szukam granic wariancji maksimum zestawu zmiennych losowych. Innymi słowy, szukam formuł zamkniętych dla , takich że
Gdzie jest stałym zestawem zmiennych losowych o skończonych środkach i wariancje .
Mogę wywnioskować, że ale ta granica wydaje się bardzo luźna. Test numeryczny wydaje się wskazywać, że może być możliwą możliwością, ale nie byłem w stanie tego udowodnić. Każda pomoc jest mile widziana.B = max i σ 2 i
Odpowiedzi:
Dla dowolnej zmiennych losowych najlepszym ogólnym ograniczeniem jest jak podano w pierwotnym pytaniu. Oto szkic próbny: jeśli X, Y są IID, to . Biorąc pod uwagę wektor zmiennych zależnych , niech będzie niezależnym wektorem o tym samym rozkładzie połączeń. Dla dowolnego mamy związkową granicę, że , a całkowanie tego od do daje nierówność.X in Xja E [ ( X - Y ) 2 ] = 2 V a r ( X ) ( X 1 , … , X n ) ( Y 1 , … , Y n ) r > 0 P [V a r (maks. Xja) ≤ ∑jaV a r ( Xja) mi[ ( X- Y)2)] = 2 V a r ( X) ( X1, … , Xn) ( Y1, … , Yn) r > 0 d r 0 ∞P.[ | maxjaXja- maxjaYja|2)> r ] ≤ ∑jaP.[ | Xja- Yja|2)> r ] rer 0 ∞
Jeśli są wskaźnikami IID zdarzeń prawdopodobieństwa , to jest wskaźnikiem zdarzenia prawdopodobieństwa . Naprawiając i pozwalając, by do zera, otrzymujemy i . ϵ max X i n ϵ + O ( n 2 ϵ 2 ) n ϵ V a r ( X i ) = ϵ - ϵ 2 V a r ( max i X i ) = n ϵ + O ( n 2 ϵ 2 )Xja ϵ max Xja n ϵ + O ( n2)ϵ2)) n ϵ V a r ( Xja) = ϵ - ϵ2) Var(maxiXi)=nϵ+O(n2ϵ2)
źródło
Pytanie dotyczące MathOverflow jest powiązane z tym pytaniem.
W przypadku zmiennych losowych IID ta najwyższa nazywana jest statystyką rzędu .k
Nawet w przypadku zmiennych losowych IID Bernoulli wariancja dowolnej statystyki rzędu innej niż mediana może być większa niż wariancja populacji. Na przykład, jeśli wynosi z prawdopodobieństwem i z prawdopodobieństwem a , wówczas maksimum wynosi z prawdopodobieństwem , więc wariancja populacji wynosi podczas gdy wariancja maksimum wynosi około . 1 1 / 10 0 9 / 10 M = 10 1 ≈ 1 - 1 / E 0,09 0,23Xi 1 1/10 0 9/10 M=10 1 ≈1−1/e 0.09 0.23
Oto dwa artykuły na temat wariancji statystyk zamówień:
Yang, H. (1982) „O wariancjach mediany i niektórych innych statystyk porządkowych”. Byk. Inst. Matematyka Acad Sinica, 10 (2) s. 197–204
Papadatos, N. (1995) „Maksymalna wariancja statystyki zamówień”. Ann. Inst. Statystyk. Math., 47 (1) s. 185–193
Wierzę, że górną granicą wariancji maksimum w drugim artykule jest . Wskazują, że równość nie może wystąpić, ale dla zmiennych losowych Bernoulliego IID może wystąpić dowolna niższa wartość.Mσ2
źródło