Oczekiwana wartość jako funkcja kwantyli?

10

Zastanawiałem się, gdzie istnieje ogólny wzór na powiązanie oczekiwanej wartości ciągłej zmiennej losowej w funkcji kwantyli tego samego rv Oczekiwana wartość rv jest zdefiniowana jako: i kwantyle są zdefiniowane jako: dla .E ( X ) = x d F X ( x ) Q p X = { x : F X ( x ) = p } = F - 1 X ( p ) p ( 0 , 1 )X
E(X)=xdFX(x)QXp={x:FX(x)=p}=FX1(p)p(0,1)

Czy istnieje na przykład funkcja funkcji G taka, że: E(X)=p(0,1)G(QXp)dp

clem12240
źródło

Odpowiedzi:

15

Odwrotność (odwrotność prawa w dyskretnym przypadku) skumulowanej funkcji rozkładu nazywa się funkcją kwantylu, często oznaczoną jako . Oczekiwanie można podać w kategoriach funkcji kwantylu (gdy istnieje oczekiwanie ...) jako W przypadku ciągłym można to wykazać przez proste podstawienie w całce: Write a następnie poprzez ukryte różnicowanie prowadzi do : Otrzymaliśmy z przez zastosowanieF(x)Q(p)=F1(p)μ

μ=01Q(p)dp
μ=xf(x)dx
p=F(x)dp=f(x)dx
μ=xdp=01Q(p)dp
x=Q(p)p=F(x)Q po obu stronach.
kjetil b halvorsen
źródło
Czy możesz spojrzeć na to pytanie ? Myślę, że twoje spostrzeżenia mogą być pomocne.
luchonacho