Różnica między przedziałami ufności a przedziałami prognozowania

Dla przedziału predykcji w regresji liniowej nadal korzystać z E [ Y | x ] = ^ P 0 + β 1 x celu wygenerowania odstępu. Używasz tego również do wygenerowania przedziału ufności E [ Y | x 0 ] . Jaka jest różnica między nimi?$\hat{E}[Y|x] = \hat{\beta_0}+\hat{\beta}_{1}x$$E[Y|x_0]$

$\text{E}[y \mid x]$$y$$y$$\text{E}[y \mid x]$$x\hat{\beta}$

$\text{E}[y \mid x]$$y$$y$

$\beta$$\text{E}[y \mid x]$$y$$\text{E}[y \mid x]$

Dlatego przedział przewidywania będzie szerszy niż przedział ufności.

Różnica między przedziałem prognozy a przedziałem ufności jest błędem standardowym.

Błąd standardowy dla przedziału ufności średniej uwzględnia niepewność związaną z próbkowaniem. Linia obliczona z próbki będzie inna niż linia, która zostałaby obliczona, gdybyś miał całą populację, błąd standardowy uwzględnia tę niepewność.

Błąd standardowy przedziału prognozowania dla pojedynczej obserwacji uwzględnia niepewność wynikającą z próbkowania jak powyżej, ale bierze również pod uwagę zmienność osobników wokół przewidywanej średniej. Błąd standardowy dla przedziału prognozy będzie szerszy niż dla przedziału ufności, a zatem przedział prognoz będzie szerszy niż przedział ufności.

Pomocne było następujące wyjaśnienie:

Przedziały ufności mówią ci o tym, jak dobrze określiłeś średnią. Załóżmy, że dane naprawdę są losowo próbkowane z rozkładu Gaussa. Jeśli zrobisz to wiele razy i obliczysz przedział ufności średniej z każdej próbki, możesz oczekiwać, że około 95% tych przedziałów będzie zawierać prawdziwą wartość średniej populacji. Kluczową kwestią jest to, że przedział ufności mówi ci o prawdopodobnej lokalizacji prawdziwego parametru populacji.

Interwały prognozowania podpowiedzą, gdzie można spodziewać się próbkowania następnego punktu danych. Załóżmy, że dane naprawdę są losowo próbkowane z rozkładu Gaussa. Zbierz próbkę danych i oblicz przedział prognozy. Następnie próbkuj jeszcze jedną wartość z populacji. Jeśli robisz to wiele razy, możesz oczekiwać, że następna wartość będzie mieściła się w tym przedziale prognozowania w 95% próbek. Kluczowym punktem jest to, że przedział prognoz mówi ci o rozkładzie wartości, a nie o niepewności w określaniu populacji oznaczać.

Przedziały prognozowania muszą uwzględniać zarówno niepewność co do wartości średniej populacji, jak i rozproszenie danych. Tak więc przedział przewidywania jest zawsze szerszy niż przedział ufności.

Źródło: http://www.graphpad.com/support/faqid/1506/

Jedno jest prognozą przyszłej obserwacji, a drugie przewidywaną średnią odpowiedzią. Podam bardziej szczegółową odpowiedź, aby, miejmy nadzieję, wyjaśnić różnicę i skąd ona pochodzi, a także w jaki sposób ta różnica przejawia się w szerszych odstępach czasu dla przewidywania niż dla pewności.

$x_0$

1. $x_0$$x_0$

   $$y = x_0^T\beta+\epsilon$$ $E(\epsilon)=0$ $$\hat{y} = x_0^T\hat{\beta}$$ $\hat{\beta}$$\epsilon$

2. $x_0$$x_0$

   $$\hat{y} = x_0^T\hat{\beta}$$ $\hat{\beta}$

$x_0^T\hat{\beta} + \epsilon$$\epsilon$$\sigma^2$$\hat{\beta}$

1. $x_0$

   $$\hat{y}_0\pm t_{n-p}^{(\alpha/2)}\hat{\sigma}\sqrt{x_0^T(X^TX)^{-1}x_0 + 1}$$

2. $x_0$

   $$\hat{y}_0\pm t_{n-p}^{(\alpha/2)}\hat{\sigma}\sqrt{x_0^T(X^TX)^{-1}x_0}$$

$t_{n-p}^{\alpha/2}$$n-p$$\alpha/2$

Mamy nadzieję, że dzięki temu nieco bardziej jasne jest, dlaczego przedział prognozowania jest zawsze szerszy i jaka jest podstawowa różnica między tymi dwoma przedziałami. Ten przykład został zaadaptowany z Faraway, Linear Models with R, Sec. 4.1

Krótka odpowiedź:

Przedział przewidywania przerwa związana ze zmienną losową jeszcze bazowej (prognozowania).

Przedział ufności jest przedział związany z parametrem i jest częstościowym pojęcie.

Sprawdź pełną odpowiedź tutaj Roba Hyndmana, twórcy pakietu prognoz w R.

Ta odpowiedź jest dla tych czytelników, którzy nie mogli w pełni zrozumieć poprzednich odpowiedzi. Omówmy konkretny przykład. Załóżmy, że próbujesz przewidzieć masę ludzi na podstawie ich wzrostu, płci (mężczyzna, kobieta) i diety (standard, niskowęglowodanowa, wegetariańska). Obecnie na Ziemi żyje ponad 8 miliardów ludzi. Oczywiście można znaleźć wiele tysięcy osób o tej samej wysokości i innych dwóch parametrach, ale różnej wadze. Ich waga różni się bardzo, ponieważ niektóre z nich mają otyłość, a inne mogą cierpieć z powodu głodu. Większość tych ludzi będzie gdzieś pośrodku.

Jednym z zadań jest przewidzenie średniej masy wszystkich osób mających te same wartości wszystkich trzech zmiennych objaśniających. Tutaj używamy przedziału ufności. Innym problemem jest prognozowanie masy ciała określonej osoby. I nie znamy okoliczności życia tej osoby. W tym przypadku należy zastosować przedział prognozy. Jest on wyśrodkowany wokół tego samego punktu, ale musi być znacznie szerszy niż przedział ufności.