Udowodnienie sekwencji zmniejsza się (obsługiwane przez wykreślenie dużej liczby punktów)

Wiele pytań, które opublikowałem na SE w ostatnim miesiącu, miało na celu pomóc mi rozwiązać ten konkretny problem. Na wszystkie pytania udzielono odpowiedzi, ale wciąż nie mogę znaleźć rozwiązania. Pomyślałem więc, że powinienem po prostu zapytać o problem, który próbuję rozwiązać bezpośrednio.

Niech , gdzie , , (liczba całkowita), a każdy jest cdf ponad .$X_n \sim F_n$$F_n = (1-(1-F_{n-1})^c)^c$$F_0 = x$$c\geq 2$$F_n$$(0,1)$

Chcę udowodnić, że zmniejsza się z dla wszystkich (lub nawet dla dowolnego konkretnego )! Mogę pokazać, że zbieżny do masy Diraca w unikalnym rozwiązaniu dla Dla , . Patrząc na wykres cdfs dla zwiększenia dla tego samego , wszystkie cdfs krzyżują się na . Wartość zmniejsza się dla wartości mniejszej niż i wzrasta dla wartości większej niż$\mathbb{E}X_n$$n$$c$$c$$F_n$$x_c = (1-(1-x)^c)^c)$$c=2$$x_2 = (3-\sqrt{5})/2 \approx .38$$n$$c$$x_n$$F(x)$$x$$x_n$$x$$x_n$(w miarę wzrostu ) zbieganie się do linii pionowej w punkcie .$n$$x_n$

Poniżej znajduje się wykres dla do dla do . Jest to oczywiście dyskretna fabuła, ale linie zostały połączone dla ułatwienia oglądania. Aby wygenerować ten wykres, użyłem NIntegrate w Mathematica, chociaż musiałem to zrobić na , ponieważ z jakiegoś powodu Mathematica nie mogła wygenerować odpowiedzi na wysokie wartości dla pierwotnej funkcji. Oba powinny być równoważne, zgodnie z twierdzeniem Younga, . W moim przypadku , .$\mathbb{E}X_n$$n = 1$$40$$c = 2$$7$$1-F^{-1}_n$$n$$\int_0^1F(x)\,dx = \int_0^1 1-F^{-1}(x)\,dx$$F^{-1}_n(x) = 1-(1-(F^{-1}_{n-1})^{\frac{1}{c}})^{\frac{1}{c}}$$F^{-1}_n = x$

Jak widać porusza się bardzo szybko do minuty odległości od swojego stałego punktu . Wraz ze wzrostem , punkt stały maleje (ostatecznie przejdzie do 0).$EX_n$$x_c$$c$

Z pewnością więc wydaje się prawdą, że zmniejsza się z dla wszystkich . Ale nie mogę tego udowodnić. Czy ktoś może mi pomóc? (ponownie, byłbym nieco zadowolony z choćby jednego ). A jeśli nie możesz, ale masz wgląd w to, dlaczego ten konkretny problem może być nierozwiązywalny, podziel się również tym spostrzeżeniem. $EX_n$$n$$c$$c$

Odpowiedzi na to pytanie udzielił Pietro Majer tutaj .