Jak podano w tytule, powiedzmy, jeśli losuję 4 karty, a ty dobierasz 6 z tej samej talii, jakie jest prawdopodobieństwo, że moja najwyższa karta pobije Twoją najwyższą kartę?
Jak to się zmieni, jeśli będziemy czerpać z różnych talii?
Dzięki!
probability
maximum
Wudanao
źródło
źródło
Odpowiedzi:
To proste pytanie ma skomplikowaną odpowiedź. Powikłania wynikają z dwóch czynników:
Karty losowane są bez wymiany. (Każde losowanie zmienia zatem zawartość talii dostępną dla kolejnych losowań).
Talia zwykle zawiera wiele kart o każdej wartości, co daje remis na najwyższą możliwą kartę.
Ponieważ komplikacje są nieuniknione, zajmijmy się dość szerokim uogólnieniem tego problemu, a następnie spójrzmy na przypadki szczególne. W uogólnieniu „talia” składa się ze skończonej liczby kart. Karty mają różne „wartości”, które można uszeregować od najniższej do najwyższej. Niech będzie wartości, które są uszeregowane (przy najniższa, a najwyższa). Jeden gracz kart z talii, a drugi gracz karty. Jaka jest szansa, że ściśle znajduje się karta o najwyższym rankingu w ręce pierwszego graczan i ≥ 1 i i = 1 i = m a ≥ 0 b ≥ 1 W.m ni≥1 i i=1 i=m a≥0 b≥1 ma większą wartość niż karta o najwyższym rankingu w ręce drugiego gracza? Niech to wydarzenie nazywa się : „wygrana” dla pierwszego gracza.W
Jednym ze sposobów, aby dowiedzieć się tego zaczyna się od stwierdzenia, że postępowanie jest równoznaczne z rysunku kart z talii, zajmując pierwsze z tych, za karty pierwszego gracza, a pozostała być karty drugiego gracza. Spośród tych kart niech będzie najwyższą wartością, a będzie liczbą kart o tej wartości. Pierwszy gracz wygrywa tylko wtedy, gdy ma wszystkie tych kart. Wiele sposobów, w których można znaleźć szczegółowe karty te spośród kart jest , gdy wiele sposobów pozycjonowania tych karty spośród wszystkich , które zostały sporządzone jesta b j k ≥ 1 k aa+b a b j k≥1 k a (ak) k a+b (a+bk) .
Teraz szansa, że jest najwyższą wartością i istnieje takich kart, to szansa na wybranie spośród kart o wartości i wybranie pozostałych spośród niższych wartości. Ponieważ istnieje jednakowo prawdopodobne czerpie z kart, odpowiedź brzmi:j k k nj j a+b−k n1+n2+⋯+nj−1=Nj−1 (Nma+b) a+b
(W tym wyrażeniu i każdy współczynnik dwumianowy, którego górna wartość jest mniejsza niż jego dolna wartość lub którego dolna wartość jest ujemna, przyjmuje się za zero.) Jest to względnie wydajne obliczenie, które zajmuje czas proporcjonalny do liczby kart na pokładzie. Ponieważ dotyczy wyłącznie współczynników dwumianowych, można zastosować asymptotyczne aproksymacje dla dużych wartości i .N0=0 a b
W niektórych przypadkach możesz chcieć zmodyfikować definicję „wygranej”. Można to łatwo zrobić: przez zamianę wartości i , ta sama formuła oblicza prawdopodobieństwo, że drugi gracz wygrywa wprost. Różnica między a sumą tych dwóch szans to szansa na remis. Możesz przypisać szansę na remis graczom w dowolnej proporcji.a b 1
W wielu konwencjonalnych taliach kart do gry i dla . Rozważmy zatem każdą talię, w której wszystkie mają tę samą wartość, powiedzmy . W tym przypadku a powyższy wzór nieco się upraszczam=13 ni=4 i=1,2,…,m ni n Nj−1=(j−1)n
Na przykład, w a na wspólnej 52 karty pokładu 13 stopni, i , . Symulacja 100 000 gier tej gry szacunkową wartość , która jest dokładna do prawie trzech znaczących liczb i nie różni się znacząco od tego, co stwierdza formuła.m=13 n=4 a=4 b=6 Pr(W)=1229751838720339≈0.3176 0.3159
PoniższyPr(W)
R
kod łatwo zmodyfikowany do oszacowania na każdym pokładzie: wystarczy zmienić , i . Zostało ustawione na uruchomienie tylko 10 000 odtworzeń, co powinno zająć mniej niż sekundę i jest dobre dla dwóch znaczących postaci w szacunkach.a
b
deck
Dane wyjściowe w tym przypadku to
źródło