Chcę oszacować średnią funkcji f, tj.
gdzie i są niezależnymi zmiennymi losowymi. Mam próbki f, ale nie iid: Są próbki IID dla a dla każdego są próbki z :X Y Y 1 , Y 2 , … Y n Y i n i X X i , 1 , X i , 2 , … , X i , n i
miX, Y[ f( X, Y) ]
XYY1, Y2), … YnYjanjaXXja , 1, Xja , 2, … , Xja , nja
Więc w sumie mam próbkifa( X1 , 1, Y1) … F( X1 , n1, Y1) … F( Xja , j, Yja) … F( Xn , nn, Yn)
Aby oszacować średnią, obliczam
Oczywiście więc jest obiektywnym estymatorem. Zastanawiam się teraz, czym jest , tj. Wariancja estymatora. EX,Y[μ]=EX,Y[f(X,Y)]μVar(μ)
μ = ∑i = 1n1 / n ∗ ∑j = 1njafa( Xja , j, Yja)nja
miX, Y[ μ ] = EX, Y[ f( X, Y) ]
μV.a r ( μ )
Edycja 2: Czy to poprawna wariancja?
It wydaje się działać w granicach, tj. jeśli n = 1 i wszystkie wariancja staje się wariancją średnich. A jeśli wzór staje się standardowym wzorem dla wariancji estymatorów. Czy to jest poprawne? Jak mogę udowodnić, że tak jest?
V.a r ( μ ) = VrY( μja)n+ ∑i = 1nV.rX( f( X, Yja) ) )nja. N2)
nja= ∞nja= 1
Edytuj (zignoruj to):
Myślę więc, że zrobiłem pewien postęp: najpierw zdefiniujmy który jest obiektywnym estymatorem .μja= ∑njaj = 1fa( Xja , j, Yja)njamiX[ f( X, Yja) ]
Stosując standardową formułę wariancji możemy napisać:
V.a r ( μ ) = 1 / n2)∑l = 1n∑k = 1ndoo v ( μl, μk)
Można to uprościć do
i ponieważ s są rysowane niezależnie, możemy dodatkowo uprościć to do
A dla kowariancji:
1 / n2)( ∑i = 1nV.a r ( μl) + 1 / n2)∑l = 1n∑k = l + 1n2 ∗ C.o v ( μl, μk) )
Xij1/n2(∑i=1n1/niVar(f(Xi,j,Yi))+1/n2∑l=1n∑k=l+1n2∗Cov(μl,μk))
Cov(μl,μk)=Cov(∑j=1nlf(Xj,l,Yl)nl,∑j=1nkf(Xj,k,Yk)nk)=1(nk∗nl)∗Cov(∑j=1nlf(Xj,l,Yl),∑j=1nkf(Xj,k,Yk))=1(nk∗nl)∗∑j=1nl∑j=1nkCov(f(X,Yl),f(X,Yk))=nk∗nl(nk∗nl)Cov(f(Xi,l,Yl),f(Xi,k,Yk))=Cov(f(X,Yl),f(X,Yk))
Podłączając to z powrotem otrzymujemy
Mam teraz wiele pytań:
1/n2(∑i=1n1/niVar(f(X,Yi))+1/n2∑l=1n∑k=l+1n2∗Cov(f(X,Yl),f(X,Yk)))
Czy powyższe obliczenia są prawidłowe?
Jak mogę oszacować na podstawie podanych próbek?Cov(f(X,Yl),f(X,Yk)))
Czy wariancja zbiegnie się do 0, jeśli pozwolę n przejść do nieskończoności?