Obliczanie kanonicznej funkcji łącza w GLM

12

Myślałem, że kanoniczna funkcja połączenia pochodzi z naturalnego parametru rodziny wykładniczej. Powiedzmy, rozważ rodzinę f ( y , θ , ψ ) = exp { y θ - b ( θ )g() a następnieθ=θ(μ)jest kanoniczną funkcją łącza. Weźmyjako przykładrozkład Bernoulliego, mamy P(Y=y)=μy(1-μ)1-y=exp{ylogμ

f(y,θ,ψ)=exp{yθb(θ)a(ψ)c(y,ψ)}
θ=θ(μ) Tak więc kanoniczna funkcja łączag(μ)=logμ
P(Y=y)=μy(1μ)1y=exp{ylogμ1μ+log(1μ)}
g(μ)=logμ1μ

Ale kiedy widzę ten slajd , twierdzi on, że Chociaż można to łatwo zweryfikować dla tego konkretnego rozkładu (i niektórych innych rozkładów, takich jak rozkład Poissona), nie widzę równoważności dla ogólnego przypadku. Czy ktoś może dać wskazówki? Dziękuję ~

g(μ)=1V(μ)
ziyuang
źródło

Odpowiedzi:

14

V.(μ)=μ(1-μ)sol(μ)=logμ1-μ=logμ-log(1-μ)

sol(μ)=1μ+11-μ=1-μ+μμ(1-μ)=1μ(1-μ)=1V.(μ).

E(Y)=μ=b(θ) and Var(Y)=b(θ)a(ψ),
gθ=g(μ)=g(b(θ))b(θ)μ
V(μ)=b(g(μ)).
θ=g(b(θ))
1=g(b(θ))b(θ)=g(μ)V(μ),

VV(μ)1

NRH
źródło
Dziękuję @NRH. Właściwie znam równoważność rozkładu Bernoulliego. Zastanawiam się nad ogólnym przypadkiem. I dzięki za referencje, sprawdzę to :)
ziyuang,
@ziyuang, teraz uwzględniono ogólny przypadek.
NRH
1
f(y,θ,ψ)dy=1θμ
Dziękuję Ci. I znalazłem inny link referencyjny: fedc.wiwi.hu-berlin.de/xplore/ebooks/html/spm/…
ziyuang,