Dlaczego transformacja pierwiastka kwadratowego jest zalecana dla danych zliczania?

Często zaleca się, aby wziąć pierwiastek kwadratowy, gdy zliczasz dane. (Aby zapoznać się z niektórymi przykładami CV, patrz odpowiedź @ Harveya Motulsky'ego tutaj lub odpowiedź @ whubera tutaj .) Z drugiej strony, podczas dopasowywania uogólnionego modelu liniowego ze zmienną odpowiedzi rozmieszczoną jako Poisson, log jest łącznikiem kanonicznym . Jest to coś w rodzaju transformacji logu danych odpowiedzi (chociaż dokładniej transformacja logu , parametru rządzącego rozkładem odpowiedzi). Tak więc istnieje między nimi napięcie. $\lambda$

• Jak pogodzić tę (pozorną) rozbieżność?
• Dlaczego pierwiastek kwadratowy byłby lepszy od logarytmu?

Pierwiastek kwadratowy w przybliżeniu stabilizuje wariancję dla Poissona . Istnieje wiele odmian pierwiastka kwadratowego, które poprawiają właściwości, na przykład dodanie $\frac{3}{8}$ przed obliczeniem pierwiastka kwadratowego lubFreeman-Tukey($\sqrt{X}+\sqrt{X+1}$ - choć często jest również dostosowywany do średniej).

Transformacja pierwiastka kwadratowego nieco poprawia symetrię - choć nie tak dobrze jak $\frac{2}{3}$ moc ma [1]:

Jeśli szczególnie zależy ci na prawie normalności (o ile parametr Poissona nie jest naprawdę mały) i nie przejmujesz się / nie możesz dostosować się do heteroscedastyczności, spróbuj $\frac{2}{3}$

$y^*=\log(y+c)$$0$$c$$0.4$$0.5$$\mu$$\frac12$$0.43$

Co do tego, dlaczego ludzie wybierają jedną transformację nad drugą (lub żadną) - tak naprawdę jest to kwestia tego, co robią, aby to osiągnąć.

[1]: Wykresy wzorowane na wykresach Henrika Bengtssona w jego ulotce „Uogólnione modele liniowe i transformowane reszty” patrz tutaj (patrz pierwszy slajd na p4). Dodałem trochę jittera i pominąłem wiersze.