Jaki jest rozkład dla maksimum (minimum) dwóch niezależnych normalnych zmiennych losowych?

11

Załóżmy konkretnie X i Ysą normalnymi zmiennymi losowymi (niezależne, ale niekoniecznie identycznie rozmieszczone). Biorąc pod uwagę dowolnya, czy istnieje fajna formuła dla P(max(X,Y)x)lub podobne koncepcje? Czy wiemy, że max(X,Y) jest normalnie rozkładane, może wzór na średnią i odchylenie standardowe w kategoriach tych dla X i Y ? Sprawdziłem zwykłe miejsca (wikipedia, google), ale niczego nie znalazłem.

Richard Rast
źródło

Odpowiedzi:

12

Maksymalnie dwie nieidentyczne wartości normalne można wyrazić jako rozkład skośny Azzaliniego-rozkład normalny. Zobacz na przykład dokument roboczy / prezentację z 2007 roku autorstwa Balakrishnana

Przekrzywione spojrzenie na dwuwymiarowe i wielowymiarowe statystyki zamówień
Prof. N. Balakrishnan
Dokument roboczy / prezentacja (2007)

Niedawny artykuł autorstwa ( Nadarajah i Kotz - widoczny tutaj ) podaje pewne właściwości max :(X,Y)

Nadarajah, S. i Kotz, S. (2008), „Dokładny rozkład maksymalnej / minimalnej liczby dwóch zmiennych losowych Gaussa”, TRANSAKCJE IEEE NA SYSTEMACH BARDZO DUŻYCH SKAL (VLSI), VOL. 16, NIE. 2, LUTY 2008

Wcześniejsze prace patrz:

AP Basu i JK Ghosh, „Identyfikowalność rozkładów wielomianowych i innych w ramach konkurencyjnego modelu ryzyka”, J. Multivariate Anal., Vol. 8, s. 413–429, 1978

HN Nagaraja i NR Mohan, „O niezależności rozkładu życia systemu i przyczynie awarii”, Scandinavian Actuarial J., ss. 188–198, 1982.

YL Tong, wielowymiarowy rozkład normalny. Nowy Jork: Springer-Verlag, 1990.


Można również użyć komputerowego systemu algebry do automatyzacji obliczeń. Na przykład dla z pdf i z pdf :XN(μ1,σ12)f(x)YN(μ2,σ22)g(y)

wprowadź opis zdjęcia tutaj

... pdf to:Z=max(X,Y)

wprowadź opis zdjęcia tutaj

gdzie używam Maximumfunkcji z pakietu mathStatica Mathematica i Erfoznacza funkcję błędu.

wilki
źródło
Ponieważ nie mam dostępu do tego artykułu, chciałbyś podzielić się formułą, którą oni wywodzą?
Richard Rast,
Dodałem kilka dalszych odniesień ... i zapewniłem automatyczne wyprowadzenie CAS
wilki
2
@RichardRast Znalazłem odniesienie na żywo do Nadarajah i Kotza - dodane powyżej dla twojej przyjemności oglądania
wilki
0

Dziwi mnie, że w poprzednich odpowiedziach nie wymieniono najciekawszej właściwości: rozkład prawdopodobieństwa skumulowanego dla maksimum jest iloczynem odpowiednich rozkładów prawdopodobieństwa skumulowanego.

gciriani
źródło
To interesujące. Czy to tylko dla normalnych, czy jakichkolwiek dystrybucji? Czy masz cytat, że mogę przeczytać więcej na ten temat?
Richard Rast
@RichardRast, to prawda dla każdego typu losowo rozmieszczonych zmiennych niezależnych patrz ten post mathoverflow.net/questions/145659/…
gciriani