niezmienność korelacji z transformacją liniową:

Jest to faktycznie jeden z problemów w czwartym wydaniu Gujarati Basic Econometrics (Q3.11) i mówi, że współczynnik korelacji jest niezmienny w odniesieniu do zmiany pochodzenia i skali, czyli gdzie , , , są stałymi arbitralnymi.

$$\text{corr}(aX+b, cY+d) = \text{corr}(X,Y)$$ $a$$b$$c$$d$

Ale moje główne pytanie jest następujące: Niech i będą sparowanymi obserwacjami i załóżmy, że i są dodatnio skorelowane, tj. . Wiem, że byłby negatywny w oparciu o intuicję. Jeśli jednak weźmiemy , oznacza to, że co to nie ma sensu.$X$$Y$$X$$Y$$\text{corr}(X,Y)>0$$\text{corr}(-X,Y)$$a=-1, b=0, c=1, d=0$

$$\text{corr}(-X,Y) = \text{corr}(X,Y) >0$$

Byłbym wdzięczny, gdyby ktoś mógł wskazać lukę. Dzięki.

Od

$$\text{corr}(X,Y)=\frac{\text{cov}(X,Y)}{\text{var}(X)^{1/2}\,\text{var}(Y)^{1/2}}$$ i $$\text{cov}(aX+b,cY+d)=ac\,\text{cov}(X,Y)$$ równość $$\text{corr}(aX+b, cY+d) = \text{corr}(X,Y)$$ działa tylko wtedy, gdy $a$ i $c$ są oba dodatnie lub oba ujemne, tj $ac>0$.