Pierwszą rzeczą do zrobienia jest sformalizowanie tego, co rozumiemy przez „cięższy ogon”. Po standaryzacji obu rozkładów, aby mieć tę samą lokalizację i skalę (np. Odchylenie standardowe), można po prostu spojrzeć na to, jak wysoka jest gęstość w skrajnym ogonie:
(z tej odpowiedzi, która jest również w pewnym stopniu istotna dla twojego pytania )
[W tym przypadku skalowanie nie ma tak naprawdę znaczenia; t będzie nadal „cięższy” niż normalnie, nawet jeśli użyjesz bardzo różnych skal; normalność zawsze ostatecznie obniża się]
Jednak ta definicja - choć działa dobrze w przypadku tego konkretnego porównania - nie uogólnia się zbyt dobrze.
Mówiąc bardziej ogólnie, o wiele lepsza definicja znajduje się w odpowiedzi Whubera . Więc jeśliY jest cięższy niż X, tak jak t staje się wystarczająco duży (dla wszystkich t> trochę t0), następnie SY(t)>SX(t), gdzie S=1−F, gdzie F to cdf (dla grubszych po prawej stronie; z drugiej strony jest podobna, oczywista definicja).
Tutaj jest w skali logarytmicznej i w skali kwantowej normy, co pozwala nam zobaczyć więcej szczegółów:
Zatem „dowód” na większą ogonowość wymagałby porównania cdfs i pokazania, że górny ogon t-cdf ostatecznie zawsze znajduje się powyżej tego normalnego, a dolny ogon t-cdf ostatecznie zawsze znajduje się poniżej tego normalnego.
W takim przypadku łatwą rzeczą jest porównanie gęstości, a następnie wykazanie, że odpowiednie względne położenie cdfs (/ funkcji survivor) musi wynikać z tego.
Na przykład, jeśli możesz się z tym kłócić (w pewnym momencie ν)
x2−(ν+1)log(1+x2ν)>2⋅log(k)†
dla niezbędnej stałej k (funkcja ν), dla wszystkich x> trochę x0, to byłoby możliwe ustalenie cięższego ogona tν także na definicji w kategoriach większych 1−F (lub większy F na lewym ogonie).
† (ta forma wynika z różnicy dziennika gęstości, jeśli zachowuje niezbędny związek między gęstościami)
[Właściwie można to pokazać dla każdego k (nie tylko ten, którego potrzebujemy, pochodzący z odpowiednich stałych normalizujących gęstość), więc wynik musi się przydać k potrzebujemy.]
Jednym ze sposobów dostrzeżenia różnicy jest wykorzystanie chwilE{xn}.
„Cięższe” ogony będą oznaczać wyższe wartości dla parzystych momentów mocy (moc 4, 6, 8), gdy wariancja jest taka sama. W szczególności moment czwartego rzędu (około zera) nazywa się kurtozą i w pewnym sensie porównuje ciężkość ogonów.
Szczegóły w Wikipedii ( https://en.wikipedia.org/wiki/Kurtosis )
źródło
Oto formalny dowód oparty na funkcjach przetrwania. Używam następującej definicji „cięższego ogona” inspirowanej wikipedią :
Zmienna losowaY z funkcją przetrwania Sy(t) ma cięższe ogony niż zmienna losowa X z funkcją przetrwania Sx(t) iff
Rozważ zmienną losowąY rozłożone jako t Studenta ze średnią zero, stopniami swobody ν i parametr skali a . Porównujemy to do zmiennej losowejX∼N(0,σ2) . Dla obu zmiennych funkcje przeżycia są rozróżnialne. W związku z tym,
Co ważne, wynik dotyczy dowolnych (skończonych) wartościa , σ2 , i ν , więc możesz mieć sytuacje, w których rozkład ma mniejszą wariancję niż normalnie, ale nadal ma cięższe ogony.
źródło