Jeśli oraz , to czy ?

To nie jest praca domowa.

Niech $X$ będzie zmienną losową. Jeśli $\mathbb{E}[X] = k \in \mathbb{R}$ i $\text{Var}[X] = 0$ , czy wynika z tego, że $\Pr\left(X = k\right) = 1$ ?

Intuicyjnie wydaje się to oczywiste, ale nie jestem pewien, jak to udowodnię. Wiem na pewno, że z założeń wynika, że $\mathbb{E}[X^2] = k^2$ . Więc

$$\left(\int_{\mathbb{R}}x\text{ d}F(x)\right)^2 = \int_{\mathbb{R}}x^2\text{ d}F(x)\text{.}$$ Wydaje się, że nigdzie mnie to nie prowadzi. Mógłbym spróbować $$\text{Var}[X] = \mathbb{E}\left[\left(X - k\right)^2\right]\text{.}$$ Teraz od $\left(X - k\right)^2 \geq 0$ , wynika z tego, że $\mathbb{E}\left[\left(X - k\right)^2\right] \geq 0$ .

Ale jeśli miałbym użyć równości,

$$\mathbb{E}\left[\left(X - k\right)^2\right] = 0$$ to mój instynkt żołądkowy jest taki, że $\left(X - k\right)^2 \equiv 0$ , więc $X \equiv k$ .

Skąd mam to wiedzieć? Przypuszczam, że jest to dowód sprzeczności.

Jeżeli przeciwnie, $X \neq k$ dla każdego $X$ , a następnie $(X-k)^2 > 0$ i $\mathbb{E}[(X-k)^2] > 0$ dla wszystkich $X$ . Mamy sprzeczność, więc $X \equiv k$ .

Czy mój dowód jest słuszny - a jeśli tak, to czy istnieje lepszy sposób na potwierdzenie tego twierdzenia?

Oto teoretyczny dowód miary uzupełniający pozostałe, wykorzystujący tylko definicje. Pracujemy na przestrzeni prawdopodobieństwa . Zauważ, że i rozważ całkę . Załóżmy, że dla niektórych istnieje tak że na i . Wtedy aproksymuje od dołu, więc według standardowej definicji jako supremum całek prostych funkcji aproksymujących od dołu, $(\Omega, \mathcal F, P)$$Y:=(X - \mathbb EX)^2 \geq 0$$\mathbb EY :=\int Y(\omega) P(d\omega)$$\epsilon>0$$A\in \mathcal F$$Y>\epsilon$$A$$P(A)>0$$\epsilon I_A$$Y$$\mathbb E Y$

$$\mathbb EY\geq \int\epsilon I_AP(d\omega) = \epsilon P(A)>0,$$ co jest sprzecznością. Zatem , . Gotowy.$\forall \epsilon>0$$P\left(\{\omega : Y>\epsilon \}\right) = 0$

Udowodnij to przez sprzeczność. Według definicji wariancji i twoich założeń masz

$$0 =\text{Var}X = \int_\mathbb{R} (x-k)^2\,f(x)\,dx,$$

gdzie oznacza gęstość prawdopodobieństwa . Zauważ, że zarówno i są nieujemne.$f$$X$$(x-k)^2$$f(x)$

Teraz, jeśli , to$P(X=k)<1$

$$U:=\big(\mathbb{R}\setminus\{k\}\big)\cap f^{-1}\big(]0,\infty[\big)$$

ma środek większa od zera, i . Ale wtedy$k\notin U$

$$\int_U (x-k)^2\,f(x)\,dx > 0,$$

(w tym przypadku można dołączyć argument w stylu ) i dlatego$\epsilon$

$$0 =\text{Var}X = \int_\mathbb{R} (x-k)^2\,f(x)\,dx \geq \int_U (x-k)^2\,f(x)\,dx > 0,$$

i twoja sprzeczność.

Co to jest ? Czy to to samo, co jak?$X \equiv k$$X = k$

ETA: Iirc,$X \equiv k \iff X(\omega) = k \ \forall \ \omega \in \Omega \to X=k \ \text{a.s.}$

W każdym razie jest to oczywiste

$$(X-E[X])^2 \ge 0$$

Przypuszczać

$$E[X-E[X])^2] = 0$$

Następnie

$$(X-E[X])^2 = 0 \ \text{a.s.}$$

Ostatni krok, który moim zdaniem dotyczy ciągłości prawdopodobieństwa ... lub tego, co zrobiłeś (masz rację).

---

Istnieje również nierówność Czebyszewa :

$\forall \epsilon > 0$ ,

$$P(|X-k| \ge \epsilon) \le \frac{0}{\epsilon^2} = 0$$

$$P(|X-k| \ge \epsilon) = 0$$

$$\to P(|X-k| < \epsilon) = 1$$

Znowu dobrze mówię .

---

Przy okazji, dlaczego tak jest

$$\int_{\mathbb{R}}x\text{ d}F(x) = \int_{\mathbb{R}}x^2\text{ d}F(x)$$

?

Wydaje mi się, że podczas gdy$LHS = k$$RHS = k^2$