Jeśli jest dystrybuowane , jest dystrybuowane i , wiem, że jest dystrybuowane jeśli X i Y są niezależne.
Ale co by się stało, gdyby X i Y nie były niezależne, tj.
Czy wpłynęłoby to na sposób podziału sumy ?
Jeśli jest dystrybuowane , jest dystrybuowane i , wiem, że jest dystrybuowane jeśli X i Y są niezależne.
Ale co by się stało, gdyby X i Y nie były niezależne, tj.
Czy wpłynęłoby to na sposób podziału sumy ?
Odpowiedzi:
Zobacz mój komentarz na temat prawdopodobieństwa odpowiedzi logicznej na to pytanie . Tutaj , gdzieσX,YjestkowariancjizXiY. Nikt nie zapisuje nie-diagonalnych wpisów w macierzy kowariancji jakoσ 2 x y tak jak ty. Pozycje o przekątnej są kowariancjami, które mogą być ujemne.
źródło
Odpowiedź @ dilip jest wystarczająca, ale pomyślałem, że dodam kilka szczegółów na temat tego, jak dojść do wyniku. Możemy zastosować metodę funkcji charakterystycznych. Dla dowolnego -wymiarowego wielowymiarowego rozkładu normalnego X ∼ N d ( μ , Σ ) gdzie μ = ( μ 1 , … , μ d ) T i Σ j k = c o v ( X j , X k )d X∼Nd(μ,Σ) μ=(μ1,…,μd)T , funkcję charakterystyczną daje:Σjk=cov(Xj,Xk)j,k=1,…,d
=exp(i d ∑ j=1tjμj-1
For a one-dimensional normal variableY∼N1(μY,σ2Y) we get:
If we compare this characteristic function with the characteristic functionφY(t) we see that they are the same, but with μY being replaced by μZ=∑dj=1ajμj and with σ2Y being replaced by σ2Z=∑dj=1∑dk=1ajakΣjk . Hence because the characteristic function of Z is equivalent to the characteristic function of Y , the distributions must also be equal. Hence Z is normally distributed. We can simplify the expression for the variance by noting that Σjk=Σkj and we get:
This is also the general formula for the variance of a linear combination of any set of random variables, independent or not, normal or not, whereΣjj=var(Xj) and Σjk=cov(Xj,Xk) . Now if we specialise to d=2 and a1=a2=1 , the above formula becomes:
źródło