Jaki jest rozkład sumy zmiennych nie iid gaussowskich?

36

Jeśli jest dystrybuowane , jest dystrybuowane i , wiem, że jest dystrybuowane jeśli X i Y są niezależne.XN(μX,σX2)YN(μY,σY2)Z=X+YZN(μX+μY,σX2+σY2)

Ale co by się stało, gdyby X i Y nie były niezależne, tj. (X,Y)N((μXμY),(σX2σX,YσX,YσY2))

Czy wpłynęłoby to na sposób podziału sumy ?Z

JCWong
źródło
7
Chciałbym tylko zaznaczyć, że istnieją różne rodzaje rozkładów wspólnych dla inne niż dwuwymiarowa normalna, które nadal mają X i Y marginalnie normalne. To rozróżnienie miałoby ogromny wpływ na odpowiedzi. (X,Y) XY
2
@ G.JayKerns Zgadzam się, że jeśli X i Y są normalne, ale niekoniecznie wspólnie normalne, to X+Y może mieć rozkład inny niż normalny. Ale stwierdzenie OP, że „ Z jest rozproszone N(μx+μy,σx2+σy2) jeśli X i Y są niezależne”. jest absolutnie poprawne. Jeśli X i Ysą marginalnie normalne (jak mówi pierwsza część zdania) i niezależne (zgodnie z założeniem w drugiej części zdania), to są również wspólnie normalne. W pytaniu PO wspólna normalność jest wyraźnie założona, więc każda liniowa kombinacja X i Y jest normalna.
Dilip Sarwate,
3
@Dipip, pozwól mi wyjaśnić, że nie ma nic złego w pytaniu i nie ma nic złego w twojej odpowiedzi (+1) (lub prawdopodobieństwie, albo (+1)). Po prostu wskazałem, że jeśli i Y są zależne, to nie jest konieczne, aby były one razem normalne i nie było jasne, że OP rozważał taką możliwość. Ponadto obawiam się (choć nie spędziłem dużo czasu na myśleniu), że bez innych założeń (takich jak wspólna normalność) pytanie może być nawet niemożliwe do odpowiedzi. XY
5
Jak wspomina @ G.JayKerns, oczywiście możemy uzyskać wiele interesujących zachowań, jeśli weźmiemy pod uwagę marginalnie, ale nie łącznie, rozproszone normalne. Jest prosty przykład niech być standardowe normalne i ε = ± 1 z prawdopodobieństwem 1/2 każdy, niezależnie od X . Niech Y = ε X . Wtedy Y jest również standardową normą, ale Z = X + Y jest dokładnie równe zeru z prawdopodobieństwem 1/2 i jest równe 2 X z prawdopodobieństwem 1/2. Xε=±1XY=εXYZ=X+Y2X
kardynał
4
Możemy uzyskać całą gamę różnych zachowań, biorąc pod uwagę dwuwymiarową kopułę związaną z za pomocą twierdzenia Sklara . Jeśli użyjemy kopuły Gaussa, wówczas otrzymamy ( X , Y ) są wspólnie normalne, a zatem Z = X + Y jest normalnie rozłożone. Jeśli kopuła nie jest kopulą Gaussa, wówczas X i Y są nadal marginalnie rozmieszczone jako normalne, ale nie są wspólnie normalne, a zatem suma nie będzie normalnie rozłożona, ogólnie. (X,Y)(X,Y)Z=X+YXY
kardynał

Odpowiedzi:

30

Zobacz mój komentarz na temat prawdopodobieństwa odpowiedzi logicznej na to pytanie . Tutaj , gdzieσX,YjestkowariancjizXiY. Nikt nie zapisuje nie-diagonalnych wpisów w macierzy kowariancji jakoσ 2 x y tak jak ty. Pozycje o przekątnej są kowariancjami, które mogą być ujemne.

X+YN(μX+μY,σX2+σY2+2σX,Y)aX+bYN(aμX+bμY,a2σX2+b2σY2+2abσX,Y)
σX,YXYσxy2
Dilip Sarwate
źródło
1
@Kodiologist Thanks! Dziwi mnie, że literówki pozostawały niezauważone przez ponad 4 lata.
Dilip Sarwate 12.04.16
29

Odpowiedź @ dilip jest wystarczająca, ale pomyślałem, że dodam kilka szczegółów na temat tego, jak dojść do wyniku. Możemy zastosować metodę funkcji charakterystycznych. Dla dowolnego -wymiarowego wielowymiarowego rozkładu normalnego X N d ( μ , Σ ) gdzie μ = ( μ 1 , , μ d ) T i Σ j k = c o v ( X j , X k )dXNd(μ,Σ)μ=(μ1,,μd)T , funkcję charakterystyczną daje:Σjk=cov(Xj,Xk)j,k=1,,d

=exp(i d j=1tjμj-1

φX(t)=E[exp(itTX)]=exp(itTμ12tTΣt)
=exp(ij=1dtjμj12j=1dk=1dtjtkΣjk)

For a one-dimensional normal variable YN1(μY,σY2) we get:

φY(t)=exp(itμY12t2σY2)

Z=aTX=j=1dajXjd=2a1=a2=1. The characteristic function for Z is the basically the same as that for X.

φZ(t)=E[exp(itZ)]=E[exp(itaTX)]=φX(ta)
=exp(itj=1dajμj12t2j=1dk=1dajakΣjk)

If we compare this characteristic function with the characteristic function φY(t) we see that they are the same, but with μY being replaced by μZ=j=1dajμj and with σY2 being replaced by σZ2=j=1dk=1dajakΣjk. Hence because the characteristic function of Z is equivalent to the characteristic function of Y, the distributions must also be equal. Hence Z is normally distributed. We can simplify the expression for the variance by noting that Σjk=Σkj and we get:

σZ2=j=1daj2Σjj+2j=2dk=1j1ajakΣjk

This is also the general formula for the variance of a linear combination of any set of random variables, independent or not, normal or not, where Σjj=var(Xj) and Σjk=cov(Xj,Xk). Now if we specialise to d=2 and a1=a2=1, the above formula becomes:

σZ2=j=12(1)2Σjj+2j=22k=1j1(1)(1)Σjk=Σ11+Σ22+2Σ21
probabilityislogic
źródło
2
+1 Thanks for taking the time to write out the details. Can this question be made part of the FAQ?
Dilip Sarwate