W CLT dlaczego

10

Niech X1,...,Xn będą niezależnymi obserwacjami z rozkładu, który ma średnią μ i wariancję σ2< , gdy n , to

nX¯nμσN(0,1).

Dlaczego oznacza to, że

X¯nN(μ,σ2n)?
mavavilj
źródło
Może poniżej nie podkreślono tego wystarczająco wyraźnie, ale stwierdzenie jest matematycznie znaczące i prawdziwe, podczas gdy wyrażenie ˉ X nN(μ, σ 2
nX¯nμσN(0,1)
jest matematycznie absurdalne, a zatem, jak mówi przysłowie,nawet się nie myli.
X¯nN.(μ,σ2)n)
Czy

Odpowiedzi:

17

Twoja interpretacja jest nieco niepoprawna. Implikuje to twierdzenie Central Limit (CLT)

X¯napproxN(μ,σ2n).

Wynika to z faktu, że CLT jest wynikiem asymptotycznym, a my w praktyce mamy do czynienia tylko z próbkami skończonymi. Jednak gdy wielkość próbki jest wystarczająco duża, zakładamy, że wynik CLT jest prawdziwy w przybliżeniu, a zatem

nX¯nμσapproxN(0,1)nX¯nμσ.σnapproxσnN(0,1)X¯nμapproxN(0,σ2n)X¯nμ+μapproxμ+N(0,σ2n)X¯napproxN(μ,σ2n).

Jest tak, ponieważ dla losowej zmiennej i stałych a , b , Var ( a X ) = a 2 Var ( X ) (jest to używane w drugim etapie) i E ( b + X ) = b + E ( X ) , Var ( b + X ) = VarXa,bVar(aX)=a2Var(X)E(b+X)=b+E(X) (jest to używane w drugim ostatnim kroku).Var(b+X)=Var(X)

Przeczytaj to, aby uzyskać dodatkowe wyjaśnienie algebry.

Greenparker
źródło
Czy możesz wyjaśnić, jakiej „algebry” używasz, przenosząc warunki z LHS do RHS?
mavavilj
Wyjaśniłem algebrę. Większość z nich wykorzystuje właściwości wariancji i oczekiwań.
Greenparker
Dlaczego nie np. Drugi człon stają sięN(μ,μ+σ2N(μ,σ2n)? N(μ,μ+σ2n)
mavavilj
3
Ponieważ . Intuicyjnie dodanie stałej liczby do zmiennej losowej nie zmienia jej wariancji. Var(aX+b)=a2Var(X)
Greenparker
10

Najłatwiej to sprawdzić, patrząc na średnią i wariancję zmiennej losowej .X¯n

Zatem stwierdza, że ​​średnia wynosi zero, a wariancja wynosi jeden. Dlatego mamy na myśli:N(0,1)

E[nX¯nμσ]0
E[ax+b]=aE[x]+b, where a,b are constants, we get:
X¯nμ

Now, using Var[ax+b]=a2Var[x]=a2σx2, where a,b are constants, we get the following for the variance:

Var[nX¯nμσ]1
Var[X¯n]σ2n

Now, we know the mean and the variance of X¯n, and the Gaussian (normal) distribution with these mean and variance is N(μ,σ2n)

You may wonder why go through all these algebra? Why not directly prove that X¯n converges to N(μ,σ2n)?

The reason is that in mathematics it's difficult (impossible?) to prove convergence to changing things, i.e. the right had side of the convergence operator has to be fixed in order for mathematicians to use their tricks for proving statements. The N(μ,σ2n) expression changes with n, which is a problem. So, mathematicians transform the expressions in such a way, that the right hand side is fixed, e.g. N(0,1) is a nice fixed right hand side.

Aksakal
źródło
4

Nie oznacza to normalności X¯n, z wyjątkiem przybliżeń. Ale jeśli udajemy przez chwilę, żen(X¯n-μ)/σ jest dokładnie standardową normą, to mamy wynik, że τZ+μ normalna(μ,τ2)) kiedy Z normalna(0,1). Jednym ze sposobów na sprawdzenie tego jest funkcja generowania momentu

MτZ+μ(t)=MZ(τt)Mμ(t)=et2τ2/2etμ=et2τ2/2+tμ

which is the normal(μ,τ2) m.g.f.

dsaxton
źródło
Why does the moment generating function prove it for the distribution?
mavavilj
1
This is a result from probability. If two random variables have the same moment generating function then they are equal in distribution.
dsaxton