W CLT dlaczego

Niech $X_1,...,X_n$ będą niezależnymi obserwacjami z rozkładu, który ma średnią $\mu$ i wariancję $\sigma^2 < \infty$ , gdy $n \rightarrow \infty$ , to

$$\sqrt{n}\frac{\bar{X}_n-\mu}{\sigma} \rightarrow N(0,1).$$

Dlaczego oznacza to, że

$$\bar{X}_n \sim N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)?$$

Twoja interpretacja jest nieco niepoprawna. Implikuje to twierdzenie Central Limit (CLT)

$$\bar{X}_n \overset{\mbox{approx}}{\sim} N \left(\mu, \frac{\sigma^2}{n} \right).$$

Wynika to z faktu, że CLT jest wynikiem asymptotycznym, a my w praktyce mamy do czynienia tylko z próbkami skończonymi. Jednak gdy wielkość próbki jest wystarczająco duża, zakładamy, że wynik CLT jest prawdziwy w przybliżeniu, a zatem

$$\begin{align*} \sqrt{n} \dfrac{\bar{X}_n - \mu}{\sigma} &\overset{\mbox{approx}}{\sim} N(0, 1)\\ \sqrt{n} \dfrac{\bar{X}_n - \mu}{\sigma} . \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} &\overset{\mbox{approx}}{\sim} \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} N \left( 0, 1 \right)\\ {\bar{X}_n - \mu} &\overset{\mbox{approx}}{\sim} N \left(0, \dfrac{\sigma^2}{n}\right)\\ \bar{X}_n - \mu + \mu & \overset{\mbox{approx}}{\sim}\mu + N \left(0, \frac{\sigma^2}{n} \right)\\ \bar{X}_n & \overset{\mbox{approx}}{\sim} N \left(\mu, \frac{\sigma^2}{n} \right).\\ \end{align*}$$

Jest tak, ponieważ dla losowej zmiennej i stałych a , b , Var ( a X ) = a 2 Var ( X ) (jest to używane w drugim etapie) i E ( b + X ) = b + E ( X ) , Var ( b + X ) = $X$$a,b$$\operatorname{Var}(aX) = a^2 \operatorname{Var}(X)$$E(b + X) = b + E(X)$ (jest to używane w drugim ostatnim kroku).$\operatorname{Var}(b + X) = \operatorname{Var}(X)$

Przeczytaj to, aby uzyskać dodatkowe wyjaśnienie algebry.

Najłatwiej to sprawdzić, patrząc na średnią i wariancję zmiennej losowej .$\bar X_n$

Zatem stwierdza, że ​​średnia wynosi zero, a wariancja wynosi jeden. Dlatego mamy na myśli:$\mathcal{N}(0,1)$

$$E\left[\sqrt{n}\frac{\bar{X}_n-\mu}{\sigma}\right]\approx 0$$ $E[a\cdot x+b]=a\cdot E[x]+b$, where $a,b$ are constants, we get: $$\bar{X}_n\approx\mu$$

Now, using $\operatorname{Var}[a\cdot x+b]=a^2\cdot \operatorname{Var}[x]=a^2\cdot \sigma_x^2$, where $a,b$ are constants, we get the following for the variance:

$$\operatorname{Var}\left[\sqrt{n}\frac{\bar{X}_n-\mu}{\sigma}\right]\approx 1$$ $$\operatorname{Var}\left[\bar{X}_n\right]\approx \frac{\sigma^2}{n}$$

Now, we know the mean and the variance of $\bar X_n$, and the Gaussian (normal) distribution with these mean and variance is $\mathcal{N}(\mu,\frac{\sigma^2}{n})$

You may wonder why go through all these algebra? Why not directly prove that $\bar X_n$ converges to $\mathcal{N}(\mu,\frac{\sigma^2}{n})$?

The reason is that in mathematics it's difficult (impossible?) to prove convergence to changing things, i.e. the right had side of the convergence operator $\rightarrow$ has to be fixed in order for mathematicians to use their tricks for proving statements. The $\mathcal{N}(\mu,\frac{\sigma^2}{n})$ expression changes with $n$, which is a problem. So, mathematicians transform the expressions in such a way, that the right hand side is fixed, e.g. $\mathcal{N}(0,1)$ is a nice fixed right hand side.

Nie oznacza to normalności $\bar{X}_n$, z wyjątkiem przybliżeń. Ale jeśli udajemy przez chwilę, że$\sqrt{n} (\bar{X}_n - \mu) / \sigma$ jest dokładnie standardową normą, to mamy wynik, że $\tau Z + \mu \sim$ normalna$(\mu, \tau^2)$ kiedy $Z \sim$ normalna$(0, 1)$. Jednym ze sposobów na sprawdzenie tego jest funkcja generowania momentu

$$\begin{align} M_{\tau Z + \mu}(t) &= M_Z(\tau t) M_\mu (t) \\ &= e^{t^2 \tau^2 / 2} e^{t \mu} \\ &= e^{t^2 \tau^2 / 2 + t \mu} \end{align}$$

which is the normal$(\mu, \tau^2)$ m.g.f.