Co to jest izotropowa (sferyczna) macierz kowariancji?

Macierz kowariancji nazywa się izotropową lub sferyczną , jeśli jest proporcjonalna do macierzy tożsamości: tzn. Jest przekątna i wszystkie elementy na przekątnej są równe. $\mathbf C$

do = λ ja,

$\mathbf C = \lambda \mathbf I,$

Ta definicja nie zależy od układu współrzędnych; jeśli obrócimy układ współrzędnych za pomocą ortogonalnej macierzy obrotu , wówczas macierz kowariancji przekształci się w tzn. pozostanie taki sam. $\mathbf V$

{V.}^{⊤} do V. = {V.}^{⊤} \cdot λ ja \cdot V. = {V.}^{⊤} V. \cdot λ ja = λ ja,

$\mathbf V^\top \mathbf C \mathbf V = \mathbf V^\top \cdot \lambda \mathbf I \cdot\mathbf V = \mathbf V^\top \mathbf V \cdot \lambda \mathbf I = \lambda \mathbf I,$

Intuicyjnie izotropowa macierz kowariancji odpowiada „sferycznej” chmurze danych. Kula pozostaje kulą po obrocie.

ameba
źródło

Co jeśli zmienne można obrócić, aby się do nich dostać?

λ I

$\lambda \mathbf I$ macierz kowariancji?

Aksakal

@Aksakal Zobacz aktualizację.

ameba

+1. Ale co ciekawe, zupełnie inna definicja „izotropowy” odnosi się również do

C

$C$ ponieważ - jak zwykle w przypadku macierzy kowariancji - reprezentuje formę kwadratową na prawdziwej przestrzeni wektorowej. Ale w tym innym sensie jedyną izotropową macierzą kowariancji jest macierz zerowa!

whuber

@whuber Ciekawe! Nie pamiętam, że istnieje pojęcie „izotropowych” form kwadratowych. Ale czytając teraz definicję, czy żadna macierz kowariancji z co najmniej jedną zerową wartością własną nie byłaby w tym sensie „izotropowa”?

ameba

Masz rację - źle określiłem kwantyfikator. Z definicji izotropowa postać kwadratowa ma co najmniej jeden niezerowy wektor izotropowy (zamiast wszystkich wektorów będących izotropowymi).

whuber

Co to jest izotropowa (sferyczna) macierz kowariancji?

Odpowiedzi: