Częstotliwościowa definicja prawdopodobieństwa; czy istnieje formalna definicja?

Czy istnieje jakakolwiek formalna (matematyczna) definicja tego, co osoby często oceniające rozumieją pod „prawdopodobieństwem”? Czytam, że jest to względna częstotliwość występowania „na dłuższą metę”, ale czy istnieje jakiś formalny sposób jej zdefiniowania? Czy są jakieś znane odniesienia, w których mogę znaleźć tę definicję?

EDYTOWAĆ:

Z częstym (patrz komentarz @whuber i moje komentarze do odpowiedzi @Kodiologist i @Gememe Walsh poniżej tej odpowiedzi) mam na myśli tych, którzy „wierzą”, że istnieje ta względna częstotliwość w dłuższej perspektywie. Może to (częściowo) odpowiada również na pytanie @Tim

TL; DR Wydaje się, że nie można zdefiniować częstokroć definicji prawdopodobieństwa zgodnej ze strukturą Kołmogorowa, która nie jest całkowicie okrągła (tj. W sensie logiki kołowej).

Nie za długo, więc przeczytałem: Chcę zająć się tym, co widzę jako potencjalne problemy z definicją prawdopodobieństwa kandydata na częstokroć pierwsze, można interpretować jedynie jako zmienną losową, więc powyższe wyrażenie nie jest precyzyjnie zdefiniowane w ścisłym znaczeniu. Musimy określić tryb zbieżności dla tej zmiennej losowej, czy to prawie na pewno, w prawdopodobieństwie, w rozkładzie, w średniej, czy w średniej kwadratowej.

$$\underset{n \to \infty}{\lim} \frac{n_A}{n}$$ $n_A$

Ale wszystkie te pojęcia konwergencji wymagają pomiaru przestrzeni prawdopodobieństwa, aby były znaczące. Intuicyjnym wyborem byłoby oczywiście wybranie zbieżności prawie na pewno. Ma to tę cechę, że limit musi istnieć punktowo, z wyjątkiem zdarzenia o wartości zero. To, co stanowi zbiór miary zero, będzie zbieżne dla każdej rodziny miar, które są absolutnie ciągłe względem siebie - pozwala nam to zdefiniować pojęcie prawie pewnej zbieżności, czyniąc powyższą granicę rygorystyczną, a jednocześnie zachowując nieco agnostycyzmu w kwestii tego, co leży u jej podstaw miarą mierzalnej przestrzeni zdarzeń jest (tj. ponieważ może to być dowolna miara absolutnie ciągła w stosunku do wybranej miary). Zapobiegłoby to błędom w definicji, które wynikałyby z wcześniejszego ustalenia danego środka,

Jeśli jednak używamy prawie pewnej konwergencji, oznacza to, że ograniczamy się do sytuacji silnego prawa wielkich liczb (odtąd SLLN). Pozwólcie, że stwierdzę to twierdzenie (podane na str. 133 Chunga) dla odniesienia tutaj:

Niech będzie sekwencją niezależnych, identycznie rozmieszczonych zmiennych losowych. Mamy więc gdzie .$\{X_n\}$

$$\mathbb{E}|X_1| < \infty \implies \frac{S_n}{n} \to \mathbb{E}(X_1)\quad a.s.$$ $$\mathbb{E}|X_1| = \infty \implies \underset{n \to \infty}{\lim\sup}\frac{|S_n|}{n} = + \infty \quad a.s.$$ $S_n:= X_1 + X_2 + \dots + X_n$

Powiedzmy, że mamy mierzalną przestrzeń i chcemy zdefiniować prawdopodobieństwo jakiegoś zdarzenia w odniesieniu do pewnej rodziny wzajemnie absolutnie ciągłych miar prawdopodobieństwa . Następnie za pomocą Twierdzenia Rozszerzenia Kołmogorowa lub Twierdzenia Rozszerzenia Ionescu Tulcea (myślę, że oba działają), możemy zbudować rodzinę przestrzeni produktów , po jednym dla każdego . (Zauważ, że istnienie nieskończonych przestrzeni iloczynu, które jest wnioskiem twierdzenia Kołmogorowa, wymaga, aby miarą każdej przestrzeni było , dlatego ograniczam się teraz do prawdopodobieństwa zamiast miar arbitralnych). Następnie zdefiniuj$(X, \mathscr{F})$$A \in \mathscr{F}$$\{\mu_i\}_{i \in I}$$\{(\prod_{j=1}^{\infty} X_j)_i\}_{i \in I}$$\mu_i$$1$$\mathbb{1}_{A_j}$ aby być zmienną losową wskaźnika, tj. która równa się jeśli występuje w tej kopii, a jeśli nie, innymi słowyZatem wyraźnie (gdzie oznacza oczekiwanie w odniesieniu do ), więc silne prawo dużych liczb w rzeczywistości stosuje się do (ponieważ budując$1$$A$$j$$0$

$$n_A = \mathbb{1}_{A_1} + \mathbb{1}_{A_2} + \dots + \mathbb{1}_{A_n}.$$ $0 \le \mathbb{E}_i \mathbb{1}_{A_j} \le 1$$\mathbb{E}_i$$\mu_i$$(\prod_{j=1}^{\infty} X_j)_i$$\mathbb{1}_{A_j}$są dystrybuowane identycznie i niezależnie - należy pamiętać, że niezależna dystrybucja oznacza, że ​​miara przestrzeni produktu jest mnożona w odniesieniu do miar współrzędnych), więc otrzymujemy a zatem nasza definicja prawdopodobieństwa w odniesieniu do powinna oczywiście brzmieć . $$\frac{n_A}{n} \to \mathbb{E}_i \mathbb{1}_{A_1} \quad a.s.$$ $A$$\mu_i$$\mathbb{E}_1 \mathbb{1}_{A}$

Właśnie zdałem sobie sprawę, że chociaż sekwencja zmiennych losowych zbiegnie się prawie na pewno w odniesieniu do wtedy i tylko wtedy, gdy prawie na pewno w odniesieniu do , ( gdzie ) nie musi to oznaczać, że będzie zbieżny do tej samej wartości ; w rzeczywistości SLLN gwarantuje, że nie zrobi tego, chyba że co nie jest prawdą ogólnie.$\frac{n_A}{n}$$\mu_{i_1}$$\mu_{i_2}$$i_1, i_2 \in I$$\mathbb{E}_{i_1} \mathbb{1}_A = \mathbb{E}_{i_2} \mathbb{1}_A$

Jeśli jest w jakiś sposób „wystarczająco kanoniczny”, powiedzmy jak rozkład równomierny dla zbioru skończonego, to może to działa dobrze, ale tak naprawdę nie daje żadnych nowych informacji. W szczególności, dla rozkładu równomiernego, , tzn. Prawdopodobieństwo jest tylko proporcją punktów lub zdarzeń elementarnych w które należą do , co znowu wydaje mi się nieco okrągłe. W przypadku ciągłej zmiennej losowej nie widzę, jak moglibyśmy kiedykolwiek zgodzić się na „kanoniczny” wybór .$\mu$$\mathbb{E}\mathbb{1}_A = \frac{|A|}{|X|}$$A$$X$$A$$\mu$

To znaczy wydaje się, że sensowne jest zdefiniowanie częstotliwości zdarzenia jako prawdopodobieństwa zdarzenia, ale nie wydaje się sensowne definiowanie prawdopodobieństwa zdarzenia jako częstotliwości (przynajmniej bez bycia okrągłym). Jest to szczególnie problematyczne, ponieważ w rzeczywistości nie wiemy, jakie jest prawdopodobieństwo; musimy to oszacować.

Należy również zauważyć, że ta definicja częstotliwości dla podzbioru mierzalnej przestrzeni zależy od wybranej miary będącej przestrzenią prawdopodobieństwa; na przykład nie ma miary produktu dla niezliczonej liczby kopii wyposażonych w miarę Lebesgue'a, ponieważ . Podobnie miarą za pomocą kanonicznej miary iloczynu jest , która albo wysadza w nieskończoność, jeśli albo osiąga zero, jeśli , tzn. twierdzenia o rozszerzeniu Kołmogorowa i Tulcei są bardzo szczególnymi wynikami charakterystycznymi dla miar prawdopodobieństwa .$\mathbb{R}$$\mu(\mathbb{R})=\infty$$\prod_{j=1}^n X$$(\mu(X))^n$$\mu(X) >1$$\mu(X) <1$

Nie sądzę, że istnieje matematyczna definicja, nie. Różnica między różnymi interpretacjami prawdopodobieństwa nie jest różnicą w matematycznym zdefiniowaniu prawdopodobieństwa. Prawdopodobieństwo można zdefiniować matematycznie w ten sposób: jeśli jest przestrzenią miary o , to prawdopodobieństwo dowolnego zdarzenia wynosi tylko . Mam nadzieję, że zgadzasz się, że ta definicja jest neutralna dla pytań takich jak to, czy powinniśmy interpretować prawdopodobieństwa w sposób częsty czy bayesowski.$(Ω, Σ, μ)$$μ(Ω) = 1$$S ∈ Σ$$μ(S)$