Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania czwórki, gdy z talii 52 dobierane jest 20 kart?

Wczoraj graliśmy z domownikami w gry karciane i ktoś zadał to pytanie. Próbowaliśmy rozwiązać problem, ale nie mogliśmy go rozwiązać. Dziś rano się obudziłem i wciąż zastanawiam się, jak to rozwiązać. Czy możesz mi pomóc?

Istnieje 13 rodzajów, więc możemy rozwiązać problem dla jednego rodzaju, a następnie przejść dalej.

Pytanie zatem brzmi: jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania 4 sukcesów (jak królów) w 20 próbkach z tego samego rozkładu 4 sukcesów (królów) i 48 porażek bez zamiany?

Rozkład hipergeometryczny (wikipedia) daje nam odpowiedź na to pytanie, i wynosi 1,8%.

Jeśli jeden przyjaciel postawi na zdobycie 4 królów, a drugi na zdobycie czterech królowych, oboje mają 1,8% szans na wygraną. Musimy wiedzieć, jak bardzo oba zakłady się pokrywają, aby powiedzieć, jakie jest prawdopodobieństwo wygranej przynajmniej jednego z nich.

Nakładanie się obu wygranych jest podobne do pierwszego pytania, a mianowicie: jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania 8 sukcesów (królów i królowych) w 20 próbkach z rozkładu 8 sukcesów (królów i królowych) i 44 porażek, bez zamiany?

Odpowiedź jest znowu hipegraficzna i według moich obliczeń wynosi 0,017%.

Prawdopodobieństwo wygranej przynajmniej jednego z dwóch przyjaciół wynosi 1,8% + 1,8% - 0,017% = 3,6%

Kontynuując ten tok rozumowania, łatwą częścią jest zsumowanie prawdopodobieństwa dla poszczególnych rodzajów (13 * 1,8% = 23,4%), a trudną częścią jest ustalenie, na ile wszystkie te 13 scenariuszy pokrywają się.

Prawdopodobieństwo zdobycia 4 królów lub 4 królowych lub 4 asów to suma zdobycia każdego kareta minus ich nakładanie się. Nakładanie się obejmuje uzyskanie 4 królów i 4 królowych (ale nie 4 asów), uzyskanie 4 królów i 4 asów (ale nie 4 królowych), uzyskanie 4 królowych i 4 asów (ale nie 4 królów) oraz uzyskanie 4 królów i 4 królowych i 4 asy.

To jest zbyt owłosione, żebym mógł kontynuować, ale postępując w ten sposób z formułą hipergeometryczną na wikipedii, możesz śmiało napisać to wszystko.

Może ktoś może pomóc nam zmniejszyć problem?

Aby wylosować co najmniej określonych czterech rodzajów, musimy wylosować wszystkie wymagane karty o wartości . Jest to rozkład hipergeometryczny, w którym musimy wyciągnąć wszystkie sukcesów z populacji o wielkości Istnieją takie zestawy czterech rodzajów. Dlatego szansa na zdobycie co najmniej czterech rodzajów jest4 k 4 k $k$$4k$$4k$$52.$$\binom{13}{k}$$k$

$\binom{13}{k} \frac{\binom{4k}{4k}\binom{52-4k}{20-4k}}{\binom{52}{20}} = \binom{52}{20}^{-1} \binom{13}{k} \binom{52-4k}{20-4k} ,$ dla$0\leq k\leq5.$

Zgodnie z zasadą włączenia-wykluczenia prawdopodobieństwo wylosowania co najmniej jednego czwórki jest zatem równe

$\binom{52}{20}^{-1} \sum_{k=1}^5 (-1)^{k+1} \binom{13}{k} \binom{52-4k}{20-4k} = -\binom{52}{20}^{-1} \sum_{k=1}^5 (-1)^k \binom{13}{k} \binom{4(13-k)}{4\times 8} .$

Można to obliczyć numerycznie na około$0.2197706.$

Powyższa suma ma postać jeśli później termin , ponieważ warunki dla są równe zero. Zastanawiam się, czy istnieje sposób na uproszczenie tego rodzaju sumy.$\sum_{k=0}^n (-1)^k \binom{n}{k} \binom{r(n-k)}{rm},$$k=0$$5<k\leq 13$